Рівномірна безперервність, важливе поняття математичного аналізу. Функція f ( x ) називається рівномірно-безперервною на даній безлічі, якщо для всякого e > 0 можна знайти таке d = d(e)> 0, що ê f ( x 1 ) — f ( x 2 )ê<e для будь-якої пари чисел x 1 і x 2 з даної безлічі, що задовольняє умові ï x 1 -х 2 ï< d (ср. Безперервна функція ). Наприклад, функція f ( x ) = x 2 рівномірно безперервна на відрізку [0, 1]: якщо, то (оскільки для 0 £ x 1 £ 1, 0 £ x 2 £ 1 обов'язково ï x 1 + x 2 ï£ 2). Взагалі функція, безперервна в кожній точці відрізання [ а, b ], рівномірно безперервна на цьому відрізку (теорема Кантора). Для інтервалу ця теорема може не мати місця.
Так, наприклад, функція безперервна в кожній точці інтервалу 0 < x < 1, але не є рівномірно безперервною в цьому інтервалі, тому що, наприклад, при e = 1 для будь-якого d > 0 (d < 1) ми маємо ті, що задовольняють нерівності ï x 1 — x 2 ï < d числа x 1 = і x 2 = d, для яких .
