Рівномірна збіжність, важливий окремий випадок збіжності . Послідовність функцій f n ( x ) ( n = 1, 2 ...) називається такою, що рівномірно сходиться на даній безлічі до граничної функції f ( x ) , якщо для кожного e > 0 існує таке N = N (e), що ï f ( x ) — f n (x)ï < e при n > N для всіх точок х з даної безлічі. Наприклад, послідовність функцій f n ( x ) = x n рівномірно сходиться на відрізку [0, 1 / 2 ] до граничної функції f ( x ) = 0, оскільки ï f ( x ) — f n (x)ï £ ( 1 / 2 ) n < e для всіх 0 £ x £ 1 / 2 , якщо лише n > ln ( 1 / e ) /ln2, але вона не буде такою, що рівномірно сходиться на відрізку [0, 1], де граничною функцією є f ( x ) = 0 при 0 £ x < 1 і f (1) = 1, т.к. для будь-якого скільки завгодно великого заданого n існують точки h, що задовольняють нерівностям, для яких ï f (h) — f n (h)ï = h n > 1 / 2. Поняття Р. с. допускає просту геометричну інтерпретацію: якщо послідовність функцій f n ( x ) рівномірно сходиться на деякому відрізку до функції f ( x ), те це означає, що для будь-якого e > 0 всіх кривих в = f n ( x ) з чималим номером будуть розташовані усередині смуги ширини 2e, обмеженою кривими в = f ( x ) ± e для будь-якого х з цього відрізання (см. мал.(малюнок) ).
послідовності функцій, що Рівномірно сходяться, володіють важливими властивостями; наприклад, гранична функція послідовності безперервних функцій, що рівномірно сходиться, також безперервна (приведений вище приклад показує, що гранична функція послідовності безперервних функцій, яка не є такою, що рівномірно сходиться, може бути розривною). Важливу роль в математичному аналізі грає теорема Вейерштраса: кожна безперервна на відрізку функція може бути представлена як межа послідовності многочленів, що рівномірно сходиться (або тригонометричних поліномів). Див. також Наближення і інтерполяція функцій .
