Збіжність, математичне поняття, що означає, що деяка змінна величина має межа . В цьому сенсі говорять о С. послідовності, С. ряду, С. безконечного твору, С. безперервному дробу, С. інтеграла і т. д. Поняття С. виникає, наприклад, коли при вивченні того або іншого математичного об'єкту будується послідовність простіших у відомому сенсі об'єктів що наближаються до даного, тобто що мають його своєю межею (так, для обчислення довжини кола використовується послідовність довжин периметрів правильних багатокутників, вписаних в коло; для обчислення значень функцій використовуються послідовності часткових сум рядів, якими представляються дані функції, і т. п.).
С. послідовності { an }, n = 1, 2..., означає існування у неї кінцевої межі ; С. ряду — кінцевої межі (званого сумою ряду) в послідовності його часткових сум ; С. безконечного твору b 1 b 2 ... b n — кінцевої межі, не рівної нулю, в послідовності кінцевих творів p n = b 1 b 2 ... b n , n = 1, 2...; С. інтеграла від функції f ( x ) , інтегрованою по будь-якому кінцевому відрізку [ а, b ], — кінцевої межі в інтегралів при b ® +µ, називається невласним інтегралом .
Властивість С. тих або інших математичних об'єктів грає істотну роль як в питаннях теорії, так і в додатках математики. Наприклад, часто використовується представлення яких-небудь величин або функцій за допомогою тих, що сходяться рядів; так, для підстави натуральних логарифмів е є розкладання його в ряд
, що сходиться, для функції sin х — в той, що сходиться при всіх х ряд
Подібні ряди можуть бути використані для наближеного обчислення даних величин і функцій. Для цього досить узяти суму декількох перших членів, при цьому ніж більше їх узяти, тим з більшою точністю буде набуто потрібного значення. Для одних і тих же величин і функцій є різні ряди, сумою яких вони є, наприклад,
,
.
При практичних обчисленнях в цілях економії числа операцій (а отже, заощадження часу і зменшення накопичення помилок) доцільно з наявних лав вибрати ряд, який сходиться «швидше». Якщо дани два що сходяться ряду і , і, . — їх залишки, то 1-й ряд називається таким, що сходиться швидше за 2-й ряд, якщо
.
Наприклад, ряд
сходиться швидше за ряд
.
Використовуються і інші поняття «Швидше» рядів, що сходяться. Існують різні методи поліпшення С. рядів, тобто методи, що дозволяють перетворити даний ряд в що «швидше» сходиться. Аналогічно випадку рядів вводиться поняття «Швидшою» С. і для невласних інтегралів, для яких також є способи поліпшення їх С.
Велику роль поняття С. грає при вирішенні всіляких рівнянь (алгебрі, диференціальних, інтегральних), зокрема при знаходженні їх чисельних наближених рішень. Наприклад, за допомогою послідовних наближень методу можна отримати послідовність функцій, що сходяться до відповідного вирішення даного звичайного диференціального рівняння, і тим самим одночасно довести існування за певних умов рішення і дати метод, що дозволяє обчислити це рішення з потрібною точністю. Як для звичайних диференціальних рівнянь, так і рівнянь з приватними похідними існує добре розроблена теорія різних конечноразностних методів їх чисельного вирішення (див. Сіток метод ) , що сходяться . Для практичного знаходження наближених вирішень рівнянь широко використовуються ЕОМ(електронна обчислювальна машина).
Якщо змальовувати члени a n послідовності { a n } на числовій прямій, то С. цій послідовності до а означає, що відстань між точками a n і а стає і залишається скільки завгодно малим із зростанням n. В цьому формулюванні поняття С. узагальнюється на послідовності точок плоскості, простору і загальніших об'єктів, для яких може бути визначене поняття відстані, що володіє звичайними властивостями відстані між точками простору (наприклад, на послідовності векторів, матриць, функцій, геометричних фігур і т. д., див.(дивися) Метричний простір ) . Якщо послідовність { a n } сходиться до а, те поза будь-якою околицею точки а лежить лише кінцеве число членів послідовності. У цьому формулюванні поняття С. допускає узагальнення на сукупності величин ще загальнішої природи, в яких тим або іншим чином введено поняття околиці (див. Топологічний простір ) .
В математичному аналізі використовуються різні види С. послідовності функцій { f n ( x )} до функції f ( x ) (на деякій безлічі М-коду). Якщо для кожної точки X 0 (з М-коду ) , те говорять о С. у кожній крапці [якщо ця рівність не має місця лише для крапок, створюючих безліч міри нуль (див. Міра безлічі ) , те говорять о С. майже усюди]. Не дивлячись на свою природність, поняття С. в кожній крапці володіє багатьма небажаними особливостями [наприклад, послідовність безперервних функцій може сходитися в кожній крапці до розривної функції; з С. функцій f n ( x ) до f ( x ) в кожній крапці не слідує, взагалі кажучи, С. інтегралів від функцій f n ( x ) до інтеграла від f ( x ) і т. д.]. У зв'язку з цим було введено поняття рівномірної С., вільне від цих недоліків: послідовність { f n ( x )} називається такою, що рівномірно сходиться до f ( x ) на безлічі М-коду, якщо
Цей вигляд С. відповідає визначенню відстані між функціями f ( x ) і (( х ) по формулі
Д. Ф. Егоров довів, що якщо послідовність вимірних функцій сходиться майже усюди на безлічі М-коду, те з М-коду можна так видалити частину скільки завгодно малої міри, щоб на частині, що залишилася, мала місце рівномірна С.
В теорії інтегральних рівнянь, ортогональних рядів і т. д. широко застосовується поняття середньою квадратичною С.: послідовність { f n ( x )} сходиться на відрізку [ а, b ] в середньому квадратичному до f ( x ) , якщо
.
Більш у загальних рисах, послідовність { f n ( x )} сходиться в середньому з показником р до f ( x ) , якщо
.
Ета С. відповідає завданню відстані між функціями по формулі
.
З рівномірної С. на кінцевому відрізку витікає С. в середньому з будь-яким показником р. Послідовність часткових сум розкладання функції j(х) з інтегрованим квадратом по нормованій ортогональній системі функцій може розходитися в кожній крапці, але така послідовність завжди сходиться до j(х) в середньому квадратичному. Розглядаються також інші види С. Наприклад, С. по мірі: для будь-якого e > 0 міра безлічі тих крапок, для яких , прагне до нуля із зростанням n'', слабка С.:
для будь-якої функції j(x) з інтегрованим квадратом (наприклад, послідовність функцій sinx, sin2x..., sinnx, ... слабо сходиться до нуля на відрізку [—p, p], оскільки для будь-якої функції j(х) з інтегрованим квадратом коефіцієнти ряду Фур'є прагнуть до нуля).
Вказані вище і багато інших понять С. послідовності функцій систематично вивчаються у функціональному аналізі, де розглядаються різні лінійні простори із заданою нормою (відстанню до нуля) — так звані банахови простори. У таких просторах можна ввести поняття С. функціоналів, операторів і т. д., визначаючи для них відповідним чином норму. Поряд з С. по нормі (так званою сильною С.), в Банахових просторах розглядається слабка С., визначувана умовою для всіх лінійних функціоналів; введена вище слабка С. функцій відповідає розгляду норми . У сучасній математиці розглядається також С. по частково впорядкованій безлічі (див. Впорядкована і частково впорядкована безліч ) . В теорії вірогідності для послідовності випадкових величин уживаються поняття С. з вірогідністю 1 і С. по вірогідності.
Ще математики старовини (Евклід, Архімед) по суті вживали безконечні ряди для знаходження площ і об'ємів. Доказом С. рядів їм служили сповна строгі міркування за схемою вичерпання методу . Термін «З.» у застосуванні до рядів був введений в 1668 Дж. Грегорі при дослідженні деяких способів обчислення площі круга і гіперболічного сектора. Математики 17 ст зазвичай мали ясне представлення о С. рядів, що вживаються ними, хоча і не проводили строгих з сучасної точки зору доказів С. В 18 ст широко поширилося вживання в аналізі рядів (зокрема, їх широко застосовував Л. Ейлер ) , що свідомо розходяться . Це, з одного боку, привело згодом до багатьом непорозумінням і помилкам, усуненим лише з розвитком виразної теорії С., а з іншої — передбачило сучасну теорію підсумовування рядів, що розходяться. Строгі методи дослідження С. рядів були розроблені в 19 ст (О. Коші, Н. Абель, К . Вейерштрас, Б . Больцано і ін.). Поняття рівномірною С. було введено Дж. Стоксом . Подальші розширення поняття С. були пов'язані з розвитком теорії функцій, функціонального аналізу і топології.
Літ.: Ільін Ст А., Позняк Е. Р., Основи математичного аналізу, 3 видавництва, т. 1—2, М., 1971—73; Кудрявцев Л. Д., Математичний аналіз, 2 видавництва, т. 1—2, М., 1970; Никольський С. М., Курс математичного аналізу, т. 1—2, М., 1973.
