Послідовних наближенні метод, метод вирішення математичних завдань за допомогою такої послідовності наближенні, яка сходиться до рішення і будується рекурентно (тобто кожне нове наближення обчислюють, виходячи з попереднього; початкове наближення вибирається достатньою мірою довільно). П. п. м. застосовується для наближеного знаходження коріння рівнянь алгебри і трансцендентних, для доказу існування рішення і наближеного знаходження вирішень диференціальних, інтегральних і інтегро-дифференційних рівнянь, для якісної характеристики рішення і у ряді ін. математичних завдань. 1) Для вирішення рівняння
f ( x ) = 0 (1)
складають йому рівносильне х = j(х) , позначивши, наприклад, через j(x) різницю х — kf ( x ) ( до — постійне). Вибравши a 0 — початкове наближення до Корню рівняння, складають послідовність чисел a 0 , a 1 = j( a 0 ) , a 2 = j( a 1 ) ., a n = j( a n-1 ) , .; межа а =, якщо він існує, є коренем рівняння (1), а числа a 0 , a 1 , a 2 ..., a n .. . — наближеними значеннями цього кореня. Межа а існуватиме, наприклад, якщо
(2)
і як початкове наближення a 0 узяте будь-яке число.
Зазвичай, коли треба знайти наближене значення кореня рівняння, встановлюють досить вузький інтервал, в якому лежить корінь (наприклад, за допомогою графічних методів); потім підбирають до так, щоб умова (2) виконувалася на всьому інтервалі; за початкове наближення a 0 вибирають будь-яке число з цього інтервалу і застосовують П. п. м. Практично, після того, як два послідовні наближення a n-1 і a n збіжаться із заданою мірою точності, обчислення припиняють і вважають a n » а. Хай дано, наприклад, рівняння f ( x ) = . Оскільки>, те корінь рівняння лежить в інтервалі . Поклавши, безпосередньою перевіркою переконуємося, що для до = умова (2) виконується на всьому інтервалі . Вибірем a 0 = і застосуємо П. п. м. до рівняння . Отримаємо a 1 = 0,554, a 2 = 0,570, a 3 = 0,566 (насправді корінь рівняння з трьома вірними десятковими знаками рівний a 4 » 0,567).
2) П. п. м. застосовують для наближеного вирішення систем лінійних рівнянь алгебри з великим числом невідомих.
Хай дана система трьох рівнянь з трьома невідомими:
(3)
Будують їй еквівалентну систему:
(4)
вважаючи, наприклад,
і, користуючись рекурентними формулами:
x j = c 11 x j-1 + c 12 y j-1 + c 13 z j-1 + d 1
y j = c 21 x j-1 + c 22 y j-1 + c 23 z j-1 + d 2
z j = c 31 x j-1 + c 32 y j-1 + c 33 z j-1 + d 3
складають послідовність ( x 0 , у 0 , z 0 ) , ( x 1 , у 1 , z 1 ) ..., ( x n , y n , z n ) ... Еслі x n ® a, y n ® b, z n ® g при необмеженому збільшенні n, те трійка чисел х = a, в = b, z = g буде вирішенням системи (3). Межі а, b, g свідомо існують, які б не були початкові наближення x 0 , у 0 , z 0 , якщо, наприклад, в кожному рівнянні системи (4) сума абсолютних величин коефіцієнтів c ij менше одиниці.
3) Для того, щоб знайти вирішення = в ( х ) диференціального рівняння, що задовольняє умові у 0 = в ( х 0 ) , записують це рівняння у вигляді
і, користуючись рекурентною формулою
складають послідовність функцій y 1 ( x ) , у 2 ( х ) , ..., y n ( x )... Якщо вона рівномірно сходиться, то межа її буде шуканим рішенням.
4) Щоб знайти рішення першої краєвої задачі для рівняння
вибирають довільну функцію u, що двічі диференціюється, 0 ( x, в ) і складають потім лінійне рівняння
.
Пусть u 1 ( х, в ) — рішення першої краєвої задачі для рівняння (5); рахуючи u 1 першим наближенням, складають рівняння типа (5) для подальших наближень. Отримана послідовність { u n ( x, в )} при деяких припущеннях сходиться і дає рішення задачі.
