Стислих відображень принцип, одне з основних положень теорії метричних просторів про існування і єдиність нерухомої точки безлічі при деякому спеціальному («що стискує») відображенні його в себе. С. о. п. застосовують головним чином в теорії диференціальних і інтегральних рівнянь.
Довільне відображення А метричного простору М-коду в себе, яке кожній точці х з М-коду зіставляє деяку точку в = Ax з М-коду , породжує в просторі М-коду рівняння
Ax = х . (*)
Дія відображення А на точку х можна інтерпретувати як переміщення її в точку в = Ax . Точка х називається нерухомою точкою відображення А якщо виконується рівність (*). Т. о. питання про вирішувану рівняння (*) є питанням про знаходження нерухомих точок відображення А .
Відображення А метричного простору М-коду в себе називається стислим, якщо існує таке позитивне число а < 1, що для будь-яких точок х і в з М-коду виконується нерівність
d ( Ax, Ау ) £ a d ( х, в ),
де символ d ( u, u) означає відстань між точками u і u метричного простору М-коду .
С. о. п. стверджує, що кожне стисле відображення повного метричного простору в себе має, і притому лише одну, нерухому крапку. Крім того, для будь-якої початкової точки x 0 з М-коду послідовність { x n }, визначувана рекурентними співвідношеннями
x n = Ax n-1 , n = 1,2...,
має своєю межею нерухому точку х відображення А . При цьому справедлива наступна оцінка погрішності:
.
С. о. п. дозволяє єдиним методом доводити важливі теореми про існування і єдиність вирішень диференціальних, інтегральних і ін. рівнянь. В умовах застосовності С. о. п. рішення може бути з наперед заданою точністю обчислене послідовних наближень методом .
За допомогою певного вибору повного метричного простору М-коду і побудови відображення А ці завдання зводять заздалегідь до рівняння (*), а потім знаходять умови, при яких відображення А виявляється стислим.
Літ.: Смирнов Ст І., Курс вищої математики, т. 5, М., 1959.
