Сіток метод, збірна назва групи наближених методів вирішення диференціальних, інтегральних і інтегро-дифференційних рівнянь. Стосовно диференціальних рівнянь з приватними похідними термін «З. м.» використовується як синонім термінів «метод кінцевих різниць» і «різницевий метод». З, м. — один з найбільш поширених наближених методів вирішення завдань, пов'язаних з диференціальними рівняннями. Широке вживання С. м. пояснюється його великою універсальністю і порівняльною простотою реалізації на ЕОМ(електронна обчислювальна машина).
Суть С. м. полягає в наступному: область безперервної зміни аргументів, в якій шукається вирішення рівняння, доповненого, якщо необхідно, краєвими і початковими умовами, замінюється дискретним безліччю крапок (вузлів), званим сіткою; замість функцій безперервного аргументу розглядаються функції дискретного аргументу, визначувані у вузлах сітки і звані сітковими функціями; похідні, що входять в рівняння, краєві і початкові умови, апроксимуються різницевими стосунками; інтеграли апроксимуються квадратурними формулами; при цьому вихідне рівняння (завдання) замінюється системою (лінійних, якщо вихідне завдання було лінійним) рівнянь алгебри (системою сіткових рівнянь, а стосовно диференціальних рівнянь — різницевою схемою).
Якщо отримана таким чином система сіткових рівнянь вирішувана, принаймні, на досить дрібній сітці, тобто сітці з густим розташуванням вузлів, і її рішення при необмеженому здрібнінні сітки наближається (сходиться) до вирішення вихідного рівняння (завдання), то отримане на будь-якій фіксованій сітці рішення і береться за наближене вирішення вихідного рівняння (завдання).
з початковим u ( х , 0) = u 0 ( x ) і краєвим умовами u (0, t ) = m 1 ( t ), u (1, t ) = m 2 ( t ) [передбачається, що u 0 (0) = m 1 (0), u 0 (1) = m 2 (0)] на прямокутній рівномірній сітці з вузлами ( x i = ih , t j = j t), де i = 0, 1, 2..., N , j = 0, 1, 2..., h = 1 /n і t > 0 — кроки сітки, найбільш часто використовувана різницева схема виглядає так (схема з вагами):
з однорідними краєвими умовами u (0, в ) = u ( х , 0) = u (1, в ) = u ( х , 1) = 0 на прямокутній рівномірній сітці з вузлами x i1 = i 1 h 1 , y i2 = i 2 h 2 , де i 1 = 0, 1..., N 1 , i 2 = 0, 1..., N 2 , h 1 = 1/n 1 , h 2 = 1/n 2 , найбільш споживаною є різницева схема:
на рівномірній сітці з вузлами x i = ih , де i = 0, 1, 2..., N , h = 1 /n , проста система сіткових рівнянні має вигляд:
,
Окрім вказаних вище рівномірних прямокутних сіток, можуть використовуватися сітки загальнішого вигляду, наприклад нерівномірні, а для рівняння (3) і непрямокутні. Сіткові рівняння на таких сітках виглядають складніше. Якщо рівняння (3) вирішується в області, відмінній від прямокутника, то навіть на рівномірній прямокутній сітці апроксимація краєвих умов стає менш очевидною.
При виборі тієї або іншої сіткової апроксимації велике значення має величина погрішності апроксимації (п. а.). Так, для рівнянь (2) п. а. є величина O (t + h 2 ) при будь-якому s, O (t 2 + h 2 ) при s = 0.5 і O (t 2 + h 4 ) при s = 0,5 — h 2 / 12t. Для схеми (4) п. а. є величина O ( h 1 2 + h 2 2 ). Наявність хорошої апроксимації рівнянь і краєвих умов сітковими рівняннями ще не гарантує того, що вирішення системи сіткових рівнянь буде в деякому розумінні близьке до рішення вихідної задачі. Потрібно ще, щоб вирішення сіткових рівнянь було стійким, тобто безперервно (рівномірно безперервно відносно вибору сітки) залежало від правої частини і початкових і краєвих даних. Лише наявність хорошої апроксимації і стійкості гарантує збіжність вирішень сіткових рівнянь до вирішення вихідного рівняння при необмеженому здрібнінні сітки. Відзначимо, що схема (2) стійка при ; при s = 0 виходить явна схема, стійка за умови .
Системами сіткових рівнянь є системи лінійних рівнянь алгебри. Порядок системи буде тим вище, чим дрібніше сітка. Але точність наближеного рішення залежить від величини кроків сітки, і вона тим більше, чим менше кроки. Системи алгебри, що тому виходять, зазвичай мають досить високий порядок.
Літ.: Самара А. А., Введення в теорію різницевих схем, М., 1971; Годунов С. До., Рябенький Ст С., Різницеві схеми, М., 1973.
