Теплопровідності рівняння, диференціальне рівняння з приватними похідними параболічного типа, що описує процес поширення теплоти в суцільному середовищі (газі, рідині або твердому телі); основне рівняння математичної теорії теплопровідності . Т. в. виражає тепловий баланс для малого елементу об'єму середовища з врахуванням вступу теплоти від джерел і теплових втрат через поверхню елементарного об'єму унаслідок теплопровідності. Для ізотропного неоднорідного середовища Т. в. має вигляд:
,
де r — щільність середовища; c v — теплоємність середовища при постійному об'ємі; t — час; х, в, z — координати; Т = Т ( х, в, z, t ) — температура, яка обчислюється за допомогою Т. у.; l — коефіцієнт теплопровідності; F = F ( x, в, z, t ) — задана щільність теплових джерел. Величини r, C v , l залежать від координат і, взагалі кажучи, від температури. Для анізотропного середовища Т. в. замість l містить тензор теплопровідності l ir , де i, до = 1, 2, 3.
В разі ізотропного однорідного середовища Т. в. набирає вигляду:
,
де D T — Лапласа оператор, а 2 = l /(r з v ) — коефіцієнт температуропровідності; f = F/ ( rc v ) . В стаціонарному стані, коли температура не міняється з часом, Т. в. переходить в Пуассона рівняння D Т = f / а 2 = F /l або, за відсутності джерел теплоти, в Лапласа рівняння D Т = 0. Основними завданнями для Т. в. є Коші завдання і змішане краєве завдання (див. Краєві завдання ) .
Перші дослідження Т. в. належать Же. Фур'є (1822) і С. Пуассону (1835). Важливі результати в дослідженні Т. в. були отримані І. Р. Петровським А. Н. Тіхоновим, С. Л. Соболевим .
Літ.: Карслоу Р. С., Теорія теплопровідності, пер.(переведення) з англ.(англійський), М.— Л., 1947: Володимирів Ст С., Рівняння математичної фізики, М., 1967; Тіхонов А. Н., Самара А. А., Рівняння математичної фізики, 3 видавництва, М., 1966.
