Диференціальні рівняння, рівняння, що містять шукані функції, їх похідні різних порядків і незалежні змінні. Теорія Д. в. виникла в кінці 17 ст під впливом потреб механіки і інших природничонаукових дисциплін, по суті одночасно з інтегральним численням і диференціальним численням .
Прості Д. в. зустрічалися вже в роботах І. Ньютона і Г. Лейбніца ; термін «Д. у.» належить Лейбніцу. Ньютон при створенні числення флюксій і флюент (див. Флюксій числення ) ставив два завдання: по даному співвідношенню між флюентами визначити співвідношення між флюксіями; по даному рівнянню, що містить флюксії, знайти співвідношення між флюентами. З сучасної точки зору, перша з цих завдань (обчислення по функціях їх похідних) відноситься до диференціального числення, а друга складає вміст теорії звичайних Д. в. Завдання знаходження невизначеного інтеграла F ( x ) функції f ( x ) Ньютон розглядав просто як окремий випадок його другого завдання. Такий підхід був для Ньютона як творця основ математичного природознавства сповна виправданим: у дуже великому числі випадків закони природи, керівники тими або іншими процесами, виражаються у формі Д. в., а розрахунок перебігу цих процесів зводиться до вирішення Д. в.
Наступні два прості приклади можуть служити ілюстрацією до сказаного.
1) Якщо тіло, нагріте до температури Т поміщено в середу, температура якої дорівнює нулю, то за відомих умов можна вважати, що приріст D Т (негативне в разі T > 0) його температури за малий проміжок часу D t з достатньою точністю виражається формулою
D T = - kt D t ,
де до — постійний коефіцієнт. При математичній обробці цього фізичного завдання вважають що виконується точно відповідне граничне співвідношення між диференціалами
dt = - ktdt , (1)
тобто має місце Д. в.
T'' = - kt ,
де T'' (позначає похідну по t . Вирішити отримане Д. в., або, як виражаються інакше, проінтегрувати його, значить знайти функції, що обертають його в тотожність. Для рівняння (1) всі такі функції (тобто всі його приватні рішення) мають вигляд
Т = Ce -kt , (2)
де З постійно. Сама формула (2) з довільною постійною З називається загальним вирішенням рівняння (1).
2) Хай, наприклад, вантаж р маси m підвішений до пружини і знаходиться в положенні рівноваги ( мал. 1 , а). Відхилюючи його від положення рівноваги за допомогою розтягування пружини ( мал. 1 , би), приводять вантаж в рух. Якщо x ( t ) позначає величину відхилення тіла від положення рівноваги у момент часу t , то прискорення тіла виражається 2-ій похідній x'''' ( t ). Сила mх'''' ( t ), що діє на тіло, при невеликих розтягуваннях пружини по законам теорії пружності пропорційна відхиленню x ( t ). Т. о., виходить Д. в.
Теорія Д. в. виділилася в самостійну детально розроблену наукову дисципліну в 18 ст (праці Д. Бернуллі, Же. Д'' Аламбера і особливо Л. Ейлера ).
Д. в. діляться на «звичайні», такі, що містять похідні однієї або декількох функцій одного незалежного змінного, і «рівняння з приватними похідними», що містять приватні похідні функцій декількох незалежних змінних. Порядком Д. в. називається найбільший порядок тих, що входять в нього похідних. Так, наприклад,
є Д. в. з приватними похідними 2-го порядку.
Звичайні диференціальні рівняння. Рівняння 1-го порядку. Звичайним Д. в. 1-го порядку з однією невідомою функцією (лише такі доки розглядатимуться) називається співвідношення
F ( x , в , у'' ) = 0 (А)
між незалежним змінним х , шуканою функцією в і її похідної
Якщо рівняння (А) може бути дозволене відносно похідною, то виходить рівняння вигляду
y'' = f ( x , в ). (Б)
Багато питань теорії Д. в. простіше розглядати для таких дозволених відносно похідною рівнянь, передбачаючи функцію f ( x , в ) однозначною.
Рівняння (Б) можна записати у вигляді співвідношення між диференціалами
f ( x , в ) dx - dy = 0,
тоді воно стає окремим випадком рівнянь вигляду
Р ( х , в ) dx + Q ( x , в ) dy = 0. (В)
В рівняннях вигляду (В) природно рахувати змінні х і в рівноправними, тобто не цікавитися тим, яке з них є незалежним.
Геометрична інтерпретація диференціальних рівнянь. Хай в = в ( х ) є вирішення рівняння (Б). Геометрично це означає, що в прямокутних координатах дотична до кривої в = в ( х ) має в кожній лежачій на їй точці М-коду ( х , в ) кутовий коефіцієнт до = f ( x , в ). Т. о., знаходження вирішень в = в ( х ) геометрично зводиться до такого завдання: у кожній точці деякої області на плоскості заданий «напрям», потрібно знайти всі криві, які в будь-якій своїй точці М-коду мають напрям, заздалегідь зіставлений цій крапці. Якщо функція f ( x , в ) безперервна, то цей напрям міняється при переміщенні крапки М-кодом безперервно, і можна наочно змалювати поле напрямів, провівши в чималому числі досить густий розташованих по всієї даної області крапок короткі риски із заданим для цих крапок напрямом. На мал. 2 це виконано для рівняння у'' = у 2 . Малюнок дозволяє відразу уявити собі, як повинні виглядати графіки рішення — так звані інтегральні криві Д. в. Обчислення показує, що загальне вирішення даного рівняння є
На мал. 2 викреслені інтегральні криві, відповідні значенням параметра З = 0 і З = 1.
Графік будь-якої однозначної функції в = в ( х ) пересікає кожну пряму, паралельну осі Оу лише один раз. Такі, отже, інтегральні криві будь-якого рівняння (Б) з однозначною безперервною функцією в правій частині. Нові можливості для вигляду інтегральних кривих відкриваються при переході до рівнянь (В). За допомогою пари безперервних функцій Р ( х , в ) і Q ( x , в ) можна задати будь-яке безперервне «поле напрямів». Завдання інтеграції рівнянь (В) збігається з чисто геометричною (не залежною від вибору осей координат) завданням розшуку інтегральних кривих по заданому на плоскості полю напрямів. Слід зауважити, що тим крапкам ( x 0 , у 0 ), в яких обидві функції Р ( х , в ) і Q ( x , в ) перетворюються на нуль, не відповідає який-небудь певний напрям. Такі крапки називаються особливими точками рівняння (В).
Хай, наприклад, задано рівняння
ydx + xdy = 0,
яке можна записати у вигляді
хоча, строго кажучи, права частина цього останнього рівняння втрачає сенс при х = 0 і в = 0. Відповідні поле напрямів і сімейство інтегральних кривих, що є в цьому випадку колами х 2 + у 2 = З , змальовані на мал. 3 . Початок координат ( х = 0, в = 0) — особлива точка даного рівняння. Інтегральними кривими рівняння
ydx - xdy = 0,
змальованими на мал. 4 , є всілякі прямолінійні промені, що виходять з початку координат; початок координат є особливою крапкою і цього рівняння.
Початкові умови. Геометрична інтерпретація Д. в. 1-го порядку приводить до думки, що через кожну внутрішню точку М-коду області G із заданим безперервним полем напрямів можна провести одну сповна певну інтегральну криву.
Відносно існування інтегральної кривої сформульована гіпотеза виявляється правильною. Доказ цієї пропозиції належить Дж. Пеано . У відношенні ж єдиності інтегральною кривою, що проходить через задану точку, висловлена вище гіпотеза виявляється, взагалі кажучи, помилковою. Вже для такого простого рівняння, як
в якого права частина безперервна у всій плоскості, інтегральні криві мають вигляд, змальований на мал. 5 . Єдиність інтегральною кривою, що проходить через задану точку, порушується тут в усіх точках осі Ox .
Єдиність, тобто однозначне визначення інтегральної кривої умовою її проходження через задану точку, має місце для рівнянь (Б) з безперервною правою частиною за тієї додаткової умови, що функція f ( х , в ) має в даної області обмежену похідну по в .
Ця вимога є окремим випадком наступного, декілька ширшої умови Ліпшиця: існує така постійна L , що в даної області завжди
| f ( x , y 1 ) - f ( x , y 2 )| < L | у 1 – у 2 |.
Це умова найчастіша приводиться в підручниках як достатня умова єдиності.
З аналітичного боку теореми існування і єдиності для рівняння вигляду (Б) позначають наступне: якщо виконані належні умови [наприклад, функція f ( x , в ) безперервна і має обмежену похідну по в ], то завдання для «початкового» значення x 0 незалежного змінного х «початкового» значення у 0 = в ( x 0 ) функції в ( х ) виділяє з сімейства всіх вирішень в ( х ) одне певне рішення. Наприклад, якщо для розглянутого вище рівняння (1) зажадати, щоб в початковий момент часу t 0 = 0 температура тіла дорівнювала «початковому» значенню Т 0 , то з безконечного сімейства рішень (2) виділиться одне певне рішення що задовольняє заданим початковим умовам:
T ( t ) = T 0 e -kt .
Цей приклад типовий: у механіці і фізику Д. в. зазвичай визначають загальні закони перебігу якого-небудь явища; проте, щоб отримати з цих законів певні кількісні результати, треба приєднати до них зведення про початковий стан фізичної системи, що вивчається у деякий певний вибраний як «початковий» момент часу t 0 .
Якщо умови єдиності виконані, то вирішення в ( x ), що задовольняє умові в ( x 0 ) = у 0 , можна записати у вигляді:
в ( x ) = j( x ; х 0 , у 0 ), (5)
де x 0 і у 0 входять як параметри, функція ж j ( х ; x 0 , y 0 ) три змінних х , x 0 і y 0 однозначно визначається самим рівнянням (Б). Поважно відзначити, що при досить малій зміні поля (правій частині Д. в.) функція j( х ; x 0 , у 0 ) міняється скільки завгодно мало на кінцевому проміжку зміни змінного х — є безперервна залежність рішення від правої частини Д. в. Якщо права частина f ( x , в ) Д. в. безперервна і її похідна по в обмежена (або задовольняє умові Ліпшиця), то має місце також безперервність j( х ; х 0 , у 0 ) по x 0 і y 0 .
Якщо в околиці крапки ( х 0 , у 0 ) для рівняння (Б) виконані умови єдиності, то всі інтегральні криві, що проходять через досить малу околицю крапки ( x 0 , у 0 ), пересікають вертикальну пряму х = х 0 і визначаються ординатою в = З своєї точки пересічення з цією прямою (см. мал.(малюнок) 6 ). Т. о., всі ці рішення містяться в сімействі з одним параметром З :
в ( x ) = F ( x , C ),
яке є загальним вирішенням Д. в. (Б).
В околиці крапок, в яких порушуються умови єдиності, картина може бути складніше. Вельми складне і питання про поведінку інтегральних кривих «в цілому», а не в околиці крапки ( x 0 , у 0 ).
Загальний інтеграл. Особливі рішення. Природно поставити зворотне завдання: задано сімейство кривих, залежних від параметра З, потрібно знайти Д. в., для якого криві заданого сімейства служили б інтегральними кривими. Загальний метод для вирішення цього завдання полягає в наступному: вважаючи сімейство кривих на плоскості хОу заданим при допомозі співвідношення
F ( x , в , C ) = 0, (6)
диференціюють (6) при постійному З і отримують
або в симетричному записі
і з двох рівнянь (6) і (7) або (6) і (8) виключають параметр З . Якщо дане Д. в. виходить таким чином із співвідношення (6), то це співвідношення називається загальним інтегралом заданого Д. в. Одне і те ж Д. в. може мати багато різних загальних інтегралів. Після знаходження для заданого Д. в. загального інтеграла виявляється необхідним, взагалі кажучи, ще досліджувати, чи не має Д. в. додаткових рішень, що не містяться в сімействі інтегральних кривих (6).
Хай, наприклад, задано сімейство кривих
( х - З ) 3 - в = 0. (9)
Диференціюючи (9) при постійному З отримують
3( х - З ) 2 - у'' = 0,
після ж виключення З приходять до Д. в.
27 y 2 - ( в '') 3 = 0, (10)
рівносильному рівнянню (4). Легко бачити, що окрім рішень (9), рівняння (10) має вирішення
в º 0. (11)
Вирішення рівняння (10) найзагальнішого вигляду таке:
де -¥ £ C 1 £ C 2 £ +¥ ( мал. 7 ). Воно залежить від двох параметрів C 1 і C 2 , але складається з шматків кривих однопараметричного сімейства (9) і шматка особливого рішення (11).
Вирішення (11) рівняння (10) може служити прикладом особливого вирішення Д. в. Як інший приклад можна розглянути сімейство прямих
4( в - Cx )+ C 2 = 0. (12)
Ці прямі є інтегральними кривими Д. в.
4( в - ху'' )+ ( у'' ) 2 = 0.
Особливої ж інтегральної кривої цього Д. в. служить парабола
х 2 - в = 0,
що огинає прямі (12) ( мал. 8 ). Картина що спостерігалася в розглянутому прикладі, типова; особливі інтегральні криві зазвичай є такими, що огинають сімейства інтегральних кривих, що отримуються із загального рішення.
Диференціальні рівняння вищих порядків і системи диференціальних рівнянь. Д. в. n -го порядку з однією невідомою функцією в ( х ) незалежного змінного х записують так:
F ( х , в , y'' , у" ..., y (n-1) , y (n) ) = 0. (13)
Якщо ввести додаткові невідомі функції
y 1 = y'' , y 2 = y" ..., y n-1 = в ( n-1 ) , (14)
те рівняння (13) можна замінити системою з n рівнянь з n невідомими функціями, та зате 1-го порядку. Для цього досить до n - 1 рівнянням (14) приєднати рівняння
F ( x , в , y 1 , у 2 ..., y n-1 , y'' n-1 ) = 0.
Аналогічним чином зводяться до системам рівнянь 1-го порядку і системи рівнянь вищих порядків. У механіці зведення систем рівнянь 2-го порядку до системи з подвоєного числа рівнянь 1-го порядку має простий механічний сенс. Наприклад, система трьох рівнянь руху матеріальної точки
mx" = p ( x , в , z ), my" = Q ( x , в , z ),
mz" = R ( x , в , z ),
де х , в , z — координати крапки, залежні від часу t , зводиться до системи шести рівнянь:
mu'' = р ( х , в , z ), mv'' = Q ( x , в , z ),
nw'' = R ( x , в , z ), u = х'' , v = y'' , w = z''
за допомогою введення як нові змінні складових u , v , w швидкості.
Найбільше значення мають системи, в яких число рівнянь дорівнює числу невідомих функцій. Система з n рівнянь 1-го порядку з n невідомими функціями, дозволена відносно похідних, має вигляд:
Вирішенням системи Д. в. (а) називається система функцій x 1 ( t ), x 2 ( t ) ..., x n ( t ), яка при підстановці в рівняння (а) обертає їх в тотожність. Часто зустрічаються системи вигляду (а), в яких праві частини не залежать від t . В цьому випадку вивчення системи (а) в основному зводиться до вивчення системи з ( n - 1) -го рівняння, яку доцільно записувати в симетричній формі
не передрішає питання про те, від якої із змінних х 1 , x 2 ..., x n мисляться залежними що залишаються n - 1 змінних. Рахуючи х = ( x 1 , x 2 ..., x n ) вектором, можна записати систему (а) у вигляді одного векторного рівняння:
що дозволяє широко користуватися при вивченні систем (а) аналогією з теорією одного рівняння 1-го порядку вигляду (Б). Зокрема, виявляється, що для систем (а) зберігають силу основні результати відносно існування і єдиності рішення задачі з початковими умовами: якщо в околиці крапки ( t 0 , х 1 0 , x 2 0 ..., x n 0 ) всі функції F i безперервні по сукупності змінних t , x 1 , x 2 ..., x n і мають обмежені похідні по змінних x 1 , x 2 ..., x n , те завдання початкових значень x i ( t 0 ) = x i 0 , i = 1, 2 ..., n , визначає одне, сповна визначене, вирішення системи (а). Цим пояснюється те, що, взагалі кажучи, вирішення систем з n рівнянь 1-го порядку з n невідомими функціями залежить від n параметрів.
Для наведених вище конкретних прикладів Д. в. їх загальне рішення удається виразити за допомогою елементарних функцій. Типи Д. в., що допускають такого роду рішення, детально вивчаються. Часто дотримуються загальнішої точки зору, рахуючи Д. в. «вирішеним», якщо шукана залежність між змінними (і вхідними в загальне рішення параметрами c 1 , c 2 ...) може бути виражена за допомогою елементарних функцій і однієї або декількох операцій узяття невизначеного інтеграла («рішення виражене в квадратурі»).
Великою спільністю володіють способи знаходження рішень за допомогою розкладання їх в статечні ряди. Наприклад, якщо праві частини рівнянь (а) в околиці крапки ( t 0 , x 1 0 , x 2 0 ..., x n 0 ) голоморфни (див. Аналітичні функції ), те рішення відповідної початкової задачі виражається функціями x i ( t ), що розкладаються в статечні ряди:
коефіцієнти яких можна знайти послідовним диференціюванням правих частин Д. в. (а) і зіставленням коефіцієнтів при однакових мірах в лівих і правих частинах цих рівнянь.
Із спеціальних типів Д. в. особливо добре розроблена теорія лінійних Д. в. і систем лінійних Д. в. (див. Лінійні диференціальні рівняння ).
Для лінійних Д. в. порівняно просто вирішуються також питання «якісної» поведінки інтегральних кривих, тобто їх поведінка у всій області завдання Д. в. Для нелінійних Д. в., де знаходження загального рішення особливе складно, питання якісної теорії Д. в. набувають інколи навіть домінуючого значення. Після класичних робіт А. М. Ляпунова провідну роль в якісній теорії Д. в. грають роботи радянських математиків, механіків і фізиків. У зв'язку з цією теорією див.(дивися) Динамічна система, Особлива точка, Стійкість, Граничний цикл .
Велике значення має аналітична теорія Д. в., що вивчає вирішення Д. в. з точки зору теорії аналітичних функцій, тобто що цікавиться наприклад, розташуванням їх особливих крапок в комплексній плоскості і т.п.
Поряд з розглянутим вище початковим завданням, в якому задаються значення шуканих функцій (а в разі рівнянь старших порядків і їх похідних) в одній крапці (при одному значенні незалежного змінного), знаходять широке вживання краєві завдання .
Диференціальні рівняння з приватними похідними. Типовою особливістю Д. в. з приватними похідними і систем Д. в. з приватними похідними є те, що для однозначного визначення приватного рішення тут потрібне завдання не значень того або іншого кінцевого числа параметрів, а деяких функцій. Наприклад, загальним вирішенням рівняння
є вираження
u ( t , x ) = f ( x + t ) + g ( x - t ),
де f і g — довільні функції. Т. о., Д. в. (16) лише у тій мірі обмежує свавілля у виборі функції два змінних u ( х , в ), що її удається виразити через дві функції f ( z ) і g ( v ) від одного змінного, які залишаються [якщо на додаток до рівняння (16) не дано яких-небудь «початкових» або «краєвих» умов] довільними.
Типовим завданням з початковими умовами для системи Д. в. з приватними похідними 1-го порядку
де незалежними змінними є t , x 1 ..., x n , а u 1 ..., u m суть функція від цих незалежних змінних, може служити завдання Коші: по заданих при якому-небудь t = t 0 значенням
u i ( t 0 , x 1 ..., x n ) = j i ( x 1 ..., x n ),
i = 1, 2 ..., m ,
знайти функції u i ( t , x 1 ..., x n ).
В теорії Д. в. з приватними похідними порядку вище першого і систем Д. в. з приватними похідними розглядаються як завдання типа Коші, так і ряд краєвих завдань.
При постановці і вирішенні краєвих завдань для Д. в. з приватними похідними порядку вище першого істотне значення має типа рівняння. Як приклад можна привести класифікацію Д. в. з приватними похідними 2-го порядку з однією невідомою функцією z ( х , в ) від двох змінних:
F ( x , в , z , р , q , r , s , t ) = 0, (18)
де
Якщо
тобто еліптичне рівняння. Прикладом може служити рівняння Лапласа:
Еслі D < 0, тобто гіперболічне рівняння. Прикладом може служити рівняння вагання струни:
Еслі D = 0, тобто параболічне рівняння. Прикладом може служити рівняння поширення тепла:
Літ.: Звичайні Д. в. Степанов Ст Ст, Курс диференціальних рівнянь, 8 видавництво, М., 1959; Петровський І. Р., Лекції з теорії звичайних диференціальних рівнянь, 5 видавництво, М., 1964; Понтрягин Л. С., Звичайні диференціальні рівняння, 2 видавництва, М., 1965; Камке Е., Довідник по звичайних диференціальних рівняннях, пер.(переведення) з йому.(німецький), 3 видавництва, М., 1965; Філіппов А. Ф., Збірка завдань по диференціальних рівняннях, 2 видавництво, М., 1965.
Д. в. з приватними похідними. Петровський І. Р., Лекції про рівняння з приватними похідними, 3 видавництва, М., 1961; Тіхонов А. Н., Самара А. А., Рівняння математичної фізики, 3 видавництва, М., 1966; Собольов С. Л., Рівняння математичної фізики, 4 видавництва, М., 1966; Смирнов М. М., Завдання по рівняннях математичної фізики, 5 видавництво, М., 1968.
По матеріалах однойменної статті з 2-го видання БСЕ.
