Лінійні диференціальні рівняння , диференціальні рівняння вигляду
в ( n ) + p 1 ( x ) в ( n-1 ) + ... + p n ( x ) в = f ( x ) , (1)
де в = в ( x ) — шукана функція, в ( n ) , в ( n-1 ) ..., y'' — її похідні, а p 1 ( x ) , p 2 ( x ) ..., p n ( x ) (коефіцієнти) і f ( x ) (вільний член) — задані функції (див. Диференціальні рівняння ) . В рівняння (1) шукана функція в і її похідні входять в 1-ій мірі, тобто лінійно тому воно називається лінійним. Еслі f ( x ) º 0, те рівняння (1) називається однорідним, інакше — неоднорідним. Загальне вирішення y 0 = y 0 ( x ) однорідного Л. д. в. за умови безперервності його коефіцієнтів p до ( x ) виражається формулою:
y 0 = C 1 y 1 ( x ) + С 2 у 2 ( х ) + ... + C n y n ( x ) ,
де C 1 , C 2 ..., C n — довільні постійні і y 1 ( x ) , у 2 ( х ) ..., y n ( x ) — лінійно незалежні (див. Лінійна залежність ) приватні рішення, створюючі т.з. фундаментальну систему рішень. Критерієм лінійної незалежності рішень служить нерівність нулю (хоч би в одній крапці) визначника Вроньського (вронськиана ) :
(2)
Загальне вирішення в = в ( х ) неоднорідного Л. д. в. (1) має вигляд:
в = y 0 +Y ,
де y 0 = y 0 ( x ) — загальне вирішення відповідного однорідного Л. д. в. і Y = Y ( x ) — приватне вирішення даного неоднорідного Л. д. в. Функція Y ( x ) може бути знайдена по формулі:
,
де y до ( x ) — рішення, складові фундаментальну систему вирішень однорідного Л. д. в., і W до ( x ) — доповнення алгебри елементу y до ( n-1 ) ( x ) у визначнику (2) Вроньського W ( x ).
Якщо коефіцієнти рівняння (1) постійні: p до ( x ) = a до ( до = 1, 2 ..., n ), то загальне вирішення однорідного рівняння виражається формулою:
,
де a до ± ib до ( до = 1, 2 ..., m ; ) — коріння т.з. характеристичного рівняння:
l n + a 1 l n-1 + ... +a n = 0,
n до — кратності цього коріння і C ks , D ks — довільні постійні.
Приклад. Для Л. д. в. y’’’ + в = 0 характеристичне рівняння має вигляд: l 3 + 1 = 0. Його корінням є числа:
l 1 = -1; l 2 = і l 3 =
Отже, загальне вирішення цього рівняння таке:
.
Системи Л. д. в. мають вигляд:
(3)
( j = 1, 2 ..., n ).
Загальне вирішення однорідної системи Л. д. в. [отримуваною з системи (3), якщо все f j ( x ) º 0] дається формулами:
( j = 1, 2 ..., n )
де y j1 , y j2 ..., y jn — лінійно незалежні приватні вирішення однорідної системи (тобто такі, що визначник ½ y jk ( x )½ ¹ 0 хоч би в одній крапці).
В разі постійних коефіцієнтів p jk ( x ) = a jk приватні вирішення однорідної системи слід шукати у вигляді:
( j = 1, 2 ..., n ),
де A js — невизначені коефіцієнти, а l до — коріння характеристичного рівняння
і m до — кратність цього коріння. Повний аналіз всіх можливих тут випадків проводиться за допомогою теорії елементарних дільників [див. Нормальна (жорданова) форма матриць ] .
Для вирішення Л. д. в. і систем Л. д. в. з постійними коефіцієнтами застосовуються також методи операційного числення.
Літ.: Степанов Ст Ст, Курс диференціальних рівнянь, 8 видавництво, М., 1959; Смирнов Ст І., Курс вищої математики, т. 2, 20 видавництво, М., 1967; т. 3, ч. 2, 8 видавництво, М., 1969; Понтрягин Л. С. Звичайні диференціальні рівняння, 3 видавництва, М., 1970.
