Лінійна залежність
 
а б в г д е ж з и й к л м н о п р с т у ф х ц ч ш щ ъ ы ь э ю я
 

Лінійна залежність

Лінійна залежність (матем.), співвідношення вигляду

  C 11 u 1 + C 2 u 2 + ... + C n u n = 0, (*)

загрузка...

  де С 1 , C 2 ..., C n — числа, з яких хоч би одне відмінне від нуля, а u 1 , u 2 ..., u n — ті або інші матем.(математичний) об'єкти, для яких визначені операції складання і множення на число. У співвідношення (*) об'єкти u 1 , u 2 ..., u n входять в 1-ій мірі, тобто лінійно; тому описувана цим співвідношенням залежність між ними називається лінійною. Знак рівності у формулі (*) може мати різний сенс і у кожному конкретному випадку має бути роз'яснений. Поняття Л. з. уживається в багатьох розділах математики. Так, можна говорити про Л. з. між векторами, між функціями від одного або декількох змінних, між елементами лінійного простору і так далі Якщо між об'єктами u 1 , u 2 ..., u n є Л. з., то говорять, що ці об'єкти лінійно залежні; інакше їх називається лінійно незалежними. Якщо об'єкти u 1 , u 2 ..., u n лінійно залежні, то хоч би один з них є лінійною комбінацією останніх, тобто

  u 1 = a 1 u 1 + ... + a i-1 u i-1 + a i+1 u i+1 + ... + a n u n .

  Безперервні функції від одного змінного

  u 1 = j 1 ( х ), u 2 = j 2 ( х ) ..., u n = j n ( x ) називаються лінійно залежними, якщо між ними є співвідношення вигляду (*), в якому знак рівності розуміється як тотожність відносна х . Для того, щоб функції j 1 ( x ) , j 2 ( x ) ..., j n ( x ), задані на деякому відрізку а £ х £ b, були лінійно залежні, необхідно і досить, щоб перетворювався на нуль їх визначник Грама

 

  де

   

  i, до = 1,2 ..., n .

  Якщо ж функції j 1 (x), j 2 (x) ..., j n (x) є вирішеннями лінійного диференціального рівняння, те для існування Л. з. між ними необхідно і досить, щоб вронськиан перетворювався на нуль хоч би в одній крапці.

   Лінійні форми від m змінних

  u 1 = a i1 x 1 + a i2 x 2 + ... + a im x m

  ( i = 1, 2 ..., n )

  називаються лінійно залежними, якщо існує співвідношення вигляду (*), в якому знак рівності розуміється як тотожність відносно всіх змінних x 1 , x 2 ..., x m . Для того, щоб n лінійних форм від n змінних були лінійно залежні, необхідно і досить, щоб перетворювався на нуль визначник

D=