Нормальна (жорданова) форма матриць . З кожною квадратною матрицею зв'язаний цілий клас матриць, подібних до матриці А . У цьому класі завжди існує матриця, що має спеціальну нормальну (або канонічну) жорданову форму [термін «Н. (же.) ф. м.» пов'язаний з ім'ям До. Жордана ]. На схемі показана жорданова форма деякої матриці 8-го порядку:
(1)
Уздовж головної діагоналі розташовані спеціальні квадратні клітки (на схемі вони обведені пунктиром). Всі елементи матриці, розташовані поза цими клітками, дорівнюють нулю. У кожній діагональній клітці уздовж головної діагоналі повторюється одне і те ж (комплексне) число (у першій клітці l 1 , в другій l 2 і т.д.); паралельний ряд над головною діагоналлю складається з одиниць. Все ж останні елементи в діагональних клітках дорівнюють нулю. На приведеній схемі є три діагональні клітки, з яких перша має порядок 4, друга і третя — порядок 2. Загалом же випадку число кліток і порядки їх можуть бути будь-якими. Серед чисел l 1 , l 2 ... можливі і рівні. Вихідна матриця А у вказаному прикладі має наступні елементарні дільники : (l — l 1 ) 4 , (l — l 2 ) 2 , (l — l 3 ) 2 . По елементарних дільниках матриці однозначно визначається її жорданова форма.
Якщо матриця А має жорданову форму I , то існує неособлива матриця Т така, що А = TIT -1 . Заміну матриці А подібною нею матрицею I називають приведенням матриці А до нормальної жорданової форми.
Уявлення про вживання жорданової форми матриці можна отримати на прикладі системи лінійних диференціальних рівнянь з постійними коефіцієнтами:
................
в матричному записі:
Введемо нові невідомі функції y 1 , в 2 ... в n за допомогою неособливої матриці [ t ik - числа ( i , до = 1, 2 ., n)]:
,
,
...............
;
в матричному записі:
х = Ту .
Підставляючи цей вираз для x в (2), отримаємо:
де матриця I пов'язана з матрицею А рівністю:
А = TIT -1 .
Зазвичай матрицю Т підбирають так, щоб матриця А мала жорданову форму. В цьому випадку система рівнянь (3) значно простіше за систему (2). Так, наприклад, при n = 8, якщо матриця має жорданову форму (1), то система (3) матиме вигляд:
,,
,,
,,
.
Інтеграція такої системи зводиться до багатократної інтеграції одного диференціального рівняння.
