Матриця (у математиці)
 
а б в г д е ж з и й к л м н о п р с т у ф х ц ч ш щ ъ ы ь э ю я
 

Матриця (у математиці)

Матриця в математиці, система елементів а ij (чисел, функцій або інших величин, над якими можна виробляти операції алгебри), розташованих у вигляді прямокутної схеми. Якщо схема має m рядків і n стовпців, то говорять про ( m ´ n ) -матріце. Позначення:

загрузка...

   або .

Коротше:, . Поряд з кінцевими М. розглядаються М. з безконечним числом рядків або стовпців.

  М., що складається з одного рядка, називається рядком, з одного стовпця — стовпцем. Якщо m = n , то М. називається квадратною, а число n — її порядком. Квадратна М., в якої відмінні від нуля лише діагональні елементи a i = a ii називається діагональною і позначається diag(a 1 ..., a n ). Якщо все a i = а, отримують скалярні М. Прі а = 1 М. називається одиничною і позначається Е . М., всі елементи якої дорівнюють нулю, називається нульовий.

  Переставивши в М. рядки із стовпцями, отримують транспоновану М. A’ , або A T . Якщо елементи М. замінюють на комплексно-зв'язаних, отримують комплексно-зв'язані М. А. Еслі елементи транспонованою М. A’ замінюють на комплексно-зв'язаних, то отримують М. А *, називається зв'язаною з А . Визначник квадратною М. А позначається ½ A ½ або det  A . Мінором до -го порядка М. А називається визначник до -го порядку, складеного з елементів, що знаходяться на пересіченні деяких до рядків і до стовпців М. A в їх природному розташуванні. Рангом М. А називається максимальний порядок відмінного від нуля мінору матриці.

  Дії над матрицями. Твором прямокутною ( m ´ n ) -матріци А на число її називають М., елементи якої отримані з елементів а ij множенням на число а:

 

  Сума визначається для прямокутних М. однакової будови, і елементи суми дорівнюють сумам відповідних доданків, тобто

 

  Множення М. визначається лише для прямокутних М. таких, що число стовпців першого множника дорівнює числу рядків другого. Твором ( m ´ р ) -матріци А на ( р ´ n ) -матріцу В буде ( m ´ n ) -матріца З з елементами

  c ij = a i1 b 1j + a i2 b 2j + ... + a ip b pj ,

  i = 1 ..., m j = 1 ..., n .

  Введені три дії над М. володіють властивостями, близькими до властивостей дій над числами. Виключенням є відсутність комутативного закону при множенні М.: рівність AB = BA може не виконуватися. Матриці А і В називаються перестановочними, еслі AB = BA . Крім того, твір двох М. може дорівнювати нульовий М., хоча кожен співмножник відмінний від нульової. Справедливі правила:

 

  Визначник твору двох квадратних М. дорівнює твору визначників перемножуваних М.

  Часто зручно розбивати М. на клітки, М. менших розмірів, що є, проводячи розділові лінії через всю М. зліва направо або зверху вниз. При множенні такий так званою клітинною М. на число, потрібно помножити всі її клітки на те ж число. При належному узгодженні розбиття дії складання і множення клітинних М. здійснюються так, як ніби замість кліток коштують числа.

  Квадратна М. А = ( a ij ) називається неособливою, або невиродженою, якщо її визначник не дорівнює нулю; інакше М. називається особливою (виродженою). М. А -1 називається зворотною до квадратної М. А , якщо Aa - 1 = E , при цьому . Неособливість М. А є необхідна і достатня умова існування зворотної М., яка при цьому виявляється єдиною і перестановочною з вихідною М. Верна формула: ( AB ) -1 = B -1 A -1 .

  Великий інтерес набуває узагальнена зворотна (або псевдозворотна) М. А + , визначувана як для будь-якої прямокутної М., так і для особливої квадратної. Ета М. визначається з чотирьох рівності:

  AA + A = A , А + АА + = А , AA + = ( AA + )*, А + А = ( А + А )*.

  Квадратні матриці. Степенью A n М. А називається твір n співмножників, рівних А . Вираження віда a 0 А n + a 1 A n-1 + ... + a n E , де a 0 , a 1 ..., a n — числа, називається значенням полінома a 0 t n + a i t n-1 + ... + a n E від квадратної М. А . Правила дій над поліномами від даної М. А нічим не відрізняються від правил дій над алгеброю многочленами. Можна розглядати і аналітичні функції від М. В частковості, якщо

 

є ряд (наприклад ), що сходиться на всій комплексній плоскості, то і безконечний ряд  виявляється таким, що сходиться при будь-який М. А , його суму природно рахувати равной f(A) . Якщо ж ряд f(t) сходиться в деякому кінцевому крузі збіжності, то f(A) задається цим рядом для досить «малих» М.

  Аналітичні функції від М. грають велику роль в теорії диференціальних рівнянь. Так, система звичайних диференціальних рівнянь з постійними коефіцієнтами, записаних в матричних позначеннях у вигляді

 

(тут Х — стовпець з невідомих функцій), має решеніє х = e At C , де З — стовпець з довільних постійних.

  Ненульовий стовпець Х такий, что AX = l Х , називається власним вектором М. А . У цій рівності коефіцієнт l може бути лише одним з коріння многочлена

 

який називається характеристичним многочленом М. А . Це коріння називається власними значеннями, або характеристичними числами, М. А . Коефіцієнти характеристичного многочлена виражаються через суми деякого мінору М. А. Зокрема, p 1 = a 11 + ... + a 1n = Sp A (слід A ) . Справедливе співвідношення Келі — Гамільтона: якщо j( f ) є характеристичний многочлен М. А , то j( A )= 0, так що М. А є «коренем» свого характеристичного многочлена.

  М. А називається подібною М. В, якщо існує така неособлива М. З , що В  =  С -1 . Легко перевіряється, що подібні М. мають однакові характеристичні многочлени.

  Числення матриць . М. — корисний апарат для дослідження багатьох завдань теоретичної і прикладної математики. Одним з найважливіших завдань є завдання знаходження вирішення систем лінійних рівнянь алгебри. У матричних позначеннях такі системи записуються у вигляді

  AX = F ,

де A є М. коефіцієнтів, Х — шукане рішення, записане у вигляді стовпця з n елементів, F — стовпець вільних членів з m елементів. Якщо А — квадратна неособлива М., то система має єдине решеніє Х = A -1 F . Якщо A прямокутна ( m ´ n -матріца рангу до , те рішення може не існувати або бути не єдиним. В разі неіснування рішення має сенс узагальнене рішення, що дає мінімум сумі квадратів нев'язок (див. Найменших квадратів метод ). За відсутності єдиності точного або узагальненого рішення часто вибирають нормальне рішення тобто вирішення з найменшою сумою квадратів компонент. Нормальне узагальнене рішення знаходиться по формулі Х = A + F . Найбільш важливий випадок перевизначеної системи: до  =  n  <  m . В цьому випадку узагальнене рішення єдине. Прі до  =  m  <  n (недовизначена система) точних рішень нескінченно багато і формула дає нормальне рішення.

  Не менш важливим для багаточисельних застосувань (у теорії диференціальних рівнянь, в теорії малих коливань, в квантовій механіці і т. д.) є завдання вирішення повної або часткової проблеми власних значень. Тут шукаються всі або частина власних значень М. і що належать їм власні або кореневі (деякі узагальнення власних) вектори. До цього завдання близько примикає і узагальнена проблема власних значень, в якій шукаються числа і вектори такі, что AX  = l BX ( А і В — задані М.), і багато родинних проблем.

  З повною проблемою безпосередньо зв'язано також завдання про приведення перетвореннями подібності квадратною М. до канонічеськjй форми. Такою формою буде diag (l 1 ..., l n ), якщо М. має n різних власних значень l 1 ..., l n , або форма Жордана [див. Нормальна (жорданова) форма матриці ] в загальному випадку.

  Зважаючи на велику практичну важливість поставлених завдань для їх чисельного вирішення є велике число різних методів. Поряд із знаходженням чисельного рішення поважно оцінювати якість знайденого рішення і досліджувати стійкість вирішуваного завдання.

  Матриці спеціального типа. Існує велике число різних типів М. залежно від виконання різних співвідношень між елементами.

Назва матриці

Визначальна умова

Симетрична

Кососимметрічная

Ортогональна

 або

Стохастична

Ермітова

Унітарна

 або

Деякі типи природно виникають в додатках. Приведена таблиця дає ряд важливих типів квадратних М.

  Слід зазначити також стрічкові М. — такі М., ненульові елементи яких можуть розташовуватися на головній діагоналі і на діагоналях, сусідніх з головною, наприклад, двохдіагональні і трьохдіагональні М. Не менш важливі спеціальні типи М., що вживаються як допоміжні. Це елементарні М. — М. що відрізняються від одиничної одним елементом; М. обертання і віддзеркалення.

  Є унітарні аналоги М. обертання і віддзеркалення; праві (ліві) трикутні М. — М., в яких дорівнюють нулю елементи під (над) головною діагоналлю; праві (ліві) майже трикутні М. (М. типа Хессенберга) — М., в яких дорівнюють нулю елементи під (над) діагоналлю, сусідньою знизу (зверху) з головною.

  Перетворення матриць. Чисельні методи вирішення систем лінійних рівнянь грунтуються зазвичай на перетворенні систем за допомогою ланцюжка лівих множень на відповідні допоміжні М. з тим, щоб перейти до легко вирішуваної системи. Як допоміжні для речових М. уживаються елементарні М., М. обертання або М. віддзеркалення. Система з неособливою М. приводиться або до системи з трикутною М., або з ортогональною. У теоретичному аспекті це рівносильно представленню М. коефіцієнтів у вигляді твору двох трикутних М. (при виконанні деяких додаткових умов) або у вигляді твору трикутною на ортогональну (у тому або іншому порядку).

  Для перевизначеної системи множенням зліва на ланцюжок М. обертання або віддзеркалення можна прийти до системи з трикутною М. порядку n , вирішення якої дає узагальнене вирішення вихідної системи.

  Для вирішення проблеми власних значень, раніше чим застосовувати найбільш ефективні ітераційні методи, доцільно подібно перетворити М. загального вигляду к М. типа Хессенберга або до три діагональною в разі симетрії. Цього можна добитися за рахунок ланцюжка подібних перетворень елементарними М., М. обертання або М. віддзеркалення.

  Історична довідка. Поняття М. було введено в роботах В. Гамільтона і А. Келі в середині 19 століття. Основи теорії створені До. Вейерштрасом і Ф. Фробеніусом (2-я половина 19 століть і початок 20 століть). І. А. Лаппо-Данільовський розробив теорію аналітичних функцій від багатьох матричних аргументів і застосував цю теорію до дослідження систем диференціальних рівнянь з аналітичними коефіцієнтами. Матричні позначення набули поширення в сучасній математиці і її застосуваннях. Числення М. розвивається у напрямі побудови ефективних алгоритмів для чисельного вирішення основних завдань.

 

  Літ.: Смирнов Ст І., Курс вищої математики, 9 видавництво, т. 3, ч. 1, М., 1967; Мальцев А. І., Основи лінійної алгебри, 3 видавництва, М., 1970; Гантмахер Ф. Р., Теорія матриць, 3 видавництва, М., 1967; Уїлкинсон Дж. Х., Проблема алгебри власних значень, переклад з англійського, М., 1970; Фаддєєв Д. До., Фаддєєва Ст Н., Обчислювальні методи лінійної алгебри, 2 видавництва, М. — Л., 1963; Воєводін Ст Ст Чисельні методи алгебри. Теорія і алгоріфми, М., 1966; Лаппо-Данільовський І. А., Вживання функцій від матриць до теорії лінійних систем звичайних диференціальних рівнянь, М., 1957; Фрезер Р. А., Дункан В., Коллар А., Теорія матриць і її додатка до диференціальних рівнянь і динаміки, переклад з англійського, М., 1950; Вазов Ст, Форсайт Дж., Різницеві методи вирішення диференціальних рівнянь в приватних похідних, переклад з англійського, М., 1963.

  Ст Н. Фаддєєва.