Матричні ігри , поняття ігор теорії . М. і. — ігри, в яких беруть участь два гравці (I і II) з протилежними інтересами, причому кожен гравець має кінцеве число чистих стратегій . Якщо гравець I має m стратегій, а гравець II — n стратегій, то гра може бути задана ( m ´ n )-maтріцей А = || а ij ||, де а ij є виграш гравця I, якщо він вибере стратегію i ( i = -1, ..., m ), а гравець II — стратегію j ( j = 1 ..., n ). Слідуючи загальним принципам поведінки в антагоністичних іграх (окремим випадком яких є М. і.), гравець I прагне вибрати таку стратегию i 0 , на якій досягається
;
гравець II прагне вибрати стратегию j про , на якій досягається
;
Якщо u 1 = u 2 , то пара ( i 0 , j 0 ) складає седловую точку гри, тобто виконується подвійна нерівність
; i = 1 ., m ; j = 1 ., n .
Число називається значенням гри; стратегиі i 0 , j 0 називаються оптимальним і чистими стратегіями гравців I і II відповідно. Якщо u 1 ¹ u 2 , то завжди u 1 < u 2 ; в цьому випадку в грі седлової крапки немає, а оптимальні стратегії гравців слід шукати серед їх змішаних стратегій (тобто імовірнісних розподілів на безлічі чистих стратегій). В цьому випадку гравці оперують вже з математичними чеканнями виграшів.
Основна теорема теорії М. і. (теорема Неймана про мінімакс) стверджує, що в будь-який М. і. існують оптимальні змішані стратегії х* , у* , на яких «мінімакси», що досягаються, рівні (загальне їх значення є значення гри). Наприклад, гра з матрицею має седловую точку прі i 0 = 2, j 0 = 1, а значення гри дорівнює 2; гра з матрицею не має седлової крапки. Для неї оптимальні змішані стратегії суть х* = ( 3 / 4 , 1 / 4 ), y* = ( 1 / 2 , 1 / 2 ); значення гри рівне 1 / 2 .
Для фактичного знаходження оптимальних змішаних стратегій найчастіше використовують можливість зведення М. і. до завдань лінійного програмування . Можна використовувати так званий ітеративний метод Брауна — Робінсон, що полягає в послідовному фіктивному «розігруванні» даної гри з вибором гравцями в кожній даній партії своїх чистих стратегій, найкращих проти накопичених до цього моменту стратегій опонента. Ігри, в яких один з гравців має лише дві стратегії, просто вирішити графічно.
М. і. можуть служити математичними моделями багатьох простих конфліктних ситуацій з області економіки, математичної статистики, військової справи, біології. Незрідка як один з гравців розглядають «природу», під якою розуміється вся сукупність зовнішніх обставин, невідомих особі, що приймає рішення (іншому гравцеві).
Літ.: Матричні ігри. [Збірка переведень], під редакцією Н. Н. Воробйова, М., 1961; Нейман Дж. фон, Моргенштерн О., Теорія ігор і економічна поведінка, переклад з англійського, М., 1970; Оуен Г., Теорія ігор, переклад з англійського, М., 1971.
