Ігор теорія, розділ математики, що вивчає формальні моделі ухвалення оптимальних рішень в умовах конфлікту. При цьому під конфліктом розуміється явище, в якому беруть участь різні сторони, наділені різними інтересами і можливостями вибирати доступні для них дії відповідно до цих інтересів. Окремі математичні питання, що стосуються конфліктів, розглядалися (починаючи з 17 ст) багатьма ученими. Систематична ж математична теорія ігор була детально розроблена американськими ученими Дж. Нейманом і О. Моргенштерном (1944) як засіб математичного підходу до явищ конкурентної економіки. В ході свого розвитку І. т. переросла ці рамки і перетворилася на загальну математичну теорію конфліктів. В рамках І. т. в принципі піддаються математичному опису військові і правові конфлікти, спортивні змагання, «салонові» ігри, а також явища, пов'язані з біологічною боротьбою за існування.
В умовах конфлікту прагнення противника приховати свої майбутні дії породжує невизначеність. Навпаки, невизначеність при ухваленні рішень (наприклад, на основі недостатніх даних) можна інтерпретувати як конфлікт приймаючого вирішення суб'єкта з природою. Тому І. т. розглядається також як теорія ухвалення оптимальних рішень в умовах невизначеності. Вона дозволяє математизувати деякі важливі аспекти ухвалення рішень в техніці, сільському господарстві, медицині і соціології. Перспективний підхід з позицій І. т. до проблем управління, планерування і прогнозування.
Основним в І. т. є поняття гри, що є формалізованим уявленням про конфлікт. Точний опис конфлікту у вигляді гри полягає тому у вказівці того, хто і як бере участь в конфлікті, які можливі результати конфлікту, а також хто і в якій формі зацікавлений в цих результатах. Сторони, що беруть участь в конфлікті, називаються коаліціями дії; доступні для них дії — їх стратегіями; можливі результати конфлікту — ситуаціями (зазвичай кожна ситуація розуміється як результат вибору кожній з коаліцій дії деякій своїй стратегії); сторони, зацікавлені в результатах конфлікту, — коаліціями інтересів; їх інтереси описуються перевагами тих або інших ситуацій (ці переваги часто виражаються чисельними виграшами). Конкретизація перерахованих об'єктів і зв'язків між ними породжує всілякі приватні класи ігор.
Якщо в грі є єдина коаліція дії, то стратегії цієї коаліції можна ототожнити з ситуаціями і далі більше вже про стратегії не згадувати. Такі ігри називаються нестратегічними. Клас нестратегічних ігор вельми обширний. До їх числа відносяться, зокрема, кооперативні ігри (див. Кооперативна теорія ігор ).
Прикладом нестратегічної (кооперативною) гри може служити проста гра, що полягає в наступному. Безліччю ситуацій є в ній всілякі розподіли (ділення) між гравцями деякої кількості однорідної корисності (наприклад, грошей). Кожне ділення описується тими сумами, які при цьому отримують окремі гравці. Коаліція інтересів називається такою, що виграє, якщо вона може навіть в умовах протидії з боку всіх останніх гравців привласнити і розділити між своїми членами всю наявну корисність. Всі коаліції, що немає що виграють, зовсім не можуть привласнити якої-небудь долі корисності. Такі коаліції називаються такими, що програють. Природно вважати, що виграюча коаліція віддає перевагу одному діленню над іншим, якщо доля кожного з її членів в умовах першого ділення більше, ніж в умовах другого. Коаліції, що програють же, не можуть порівнювати ділення по перевазі (це умова також цілком природно: коаліція інтересів, яка сама не в змозі добитися нічого, вимушена погоджуватися на будь-яке ділення і позбавлена можливості вибору між діленнями).
Якщо в грі є більш за одну коаліцію дії, то гра називається стратегічною. Важливий клас стратегічних ігор складають беськоаліционниє ігри, в яких коаліції дії збігаються з коаліціями інтересів (вони називаються гравцями), а переваги для гравців описуються їх функціями виграшу: гравець віддає перевагу одній ситуації над іншою, якщо в першій ситуації він отримує більший виграш, чим в другій.
Одним з простих прикладів беськоаліционной гри може служити «морра» в наступному своєму варіанті. Три гравці показують одночасно 1 або 2 пальці кожен. Якщо всі три гравці показують одне і те ж число, то виграш кожного дорівнює нулю. Інакше один з гравців показує а ( = 1 або 2) і отримує b з деякого джерела (наприклад, з банку, утвореного попередніми внесками), а два інших гравця, що показують одне і те ж b ( ¹ а ), не отримують нічого.
Якщо в беськоаліционной грі беруть участь два гравці, а значення їх функцій виграшу в будь-якій ситуації відрізняються лише знаками, то гра називається антагоністичною грою ; у ній виграш один з гравців в точності дорівнює програшу іншого. Якщо в антагоністичній грі безлічі стратегій обох гравців кінцеві, то гра називається матричною грою зважаючи на деяку специфічну можливість її опису.
Як інший приклад беськоаліционной гри можна привести шахи. У цій грі беруть участь два гравця (білі і чорні). Стратегія кожного з гравців є мислиме (хоча практично і непіддатливе детальному опису) правило вибору в кожній можливій позиції деякого ходу, що допускається рухами фігур. Пара таких правил (за білих і за чорних) складає ситуацію, яка повністю визначає протікання шахової партії і у тому числі її результат. Функція виграшу білих має значення 1 на партіях, що виграються, 0 на нічийних і — 1 на тих, що програються (такий спосіб нарахування окулярів практично нічим не відрізняється від прийнятого в турнірній і матчевій практиці). Функція виграшу чорних відрізняється від функції виграшу білих лише знаком. Із сказаного видно, що шахи належать до антагоністичних і притому матричних ігор. У шахах стратегії не вибираються гравцями до початку гри, а реалізуються поступово, хід за ходом. Це означає, що шахи належать до позиційним іграм .
І. т. є нормативною теорією, тоєсть предметом її вивчення є не стільки самі моделі конфліктів (ігри), як такі, скільки вміст принципів оптимальності, що приймаються в іграх, існування ситуацій, на яких ці принципи оптимальності реалізуються (такі ситуації або безліч ситуацій називаються рішеннями в сенсі відповідного принципу оптимальності), і, нарешті, способи знаходження таких ситуацій. Що розглядаються в І. т. об'єкти — ігри — вельми всілякі, і доки не удалося встановити принципів оптимальності, загальних для всіх класів ігор. Практично це означає, що єдиного для всіх ігор тлумачення поняття оптимальності ще не вироблено. Тому перш ніж говорити, наприклад, про наївигоднейшем поведінку гравця в грі, необхідно встановити, в якому сенсі ця вигідність розуміється. Всі вживані в І. т. принципи оптимальності при всій їх зовнішній різноманітності відображають прямо або побічно ідею стійкості ситуацій або безлічі ситуацій, складових рішення. У беськоаліционних іграх основним принципом оптимальності вважається принцип здійсненності мети, що приводить до ситуацій рівноваги. Ці ситуації характеризуються тією властивістю, що будь-який гравець, який відхилиться від ситуації рівноваги (за умови, що останні гравці не змінять своїх стратегій), не збільшить цим свого виграшу.
В окремому випадку антагоністичних ігор принцип здійсненності мети перетворюється на так званий принцип максиміну (що відображає прагнення максимізувати мінімальний виграш).
Принципи оптимальності (що спочатку вибиралися інтуїтивно) виводяться на підставі деяких їх властивостей, що заздалегідь задаються, мають характер аксіом. Істотно, що різні вживані в І. т. принципи оптимальності можуть перечити один одному.
Теореми існування в І. т. доводяться переважно тими ж неконструктивними засобами, що і в інших розділах математики: за допомогою теорем про нерухому крапку, про виділення з безконечної послідовності підпослідовності, що сходиться, і т. п., або ж, у вельми вузьких випадках, шляхом інтуїтивної вказівки вигляду рішення і подальшого знаходження рішення в цьому вигляді.
Фактичне вирішення деяких класів антагоністичних ігор зводиться до рішення диференціальних і інтегральних рівнянь, а матричних ігор — до рішення стандартної задачі лінійного програмування . Розробляються наближені і чисельні методи вирішення ігор. Для багатьох ігор оптимальними виявляються так звані змішані стратегії, тоєсть стратегії, вибирані випадково (наприклад, по долі).
І. т., створена для математичного вирішення завдань економічного і соціального походження, не може в цілому зводитися до класичних математичних теорій, створених для вирішення фізичних і технічних завдань. Проте в різних конкретних питаннях І. т. широко використовуються вельми всілякі класичні математичні методи. Окрім цього, І. т. пов'язана з рядом математичних дисциплін внутрішнім чином. У І. т. систематично і по суті уживаються поняття теорії вірогідності. На мові І. т. можна сформулювати більшість завдань математичної статистики. Необхідність при аналізі гри кількісного обліку невизначеності зумовлює важливість і тим самим зв'язок І. т. з теорією інформації і через її посредство — з кібернетикою. Крім того, І. т., будучи теорією ухвалення рішень, може розглядатися як істотна складова частина математичного апарату операцій дослідження .
І. т. застосовується в економіці, техніці, військовій справі і навіть в антропології. Основні труднощі практичного вживання І. т. пов'язані з економічною і соціальною природою модельованих нею явищ і недостатнім умінням складати такі моделі на кількісному рівні.
До 70-м-коду рр. 20 ст число публікацій по наукових питаннях І. т. досягло багатьох сотень (у тому числі декілька десятків монографій). Курси по І. т. читаються в багатьох вищих учбових закладах для студентів математичних і економічних спеціальностей (у СРСР — з 1956).
Міжнародні конференції з І. т. проходілі в Прінстоне (1961), Єрусалимі (1965), Відні (1967) і Берклі (1970). Всесоюзні конференції з І. т. відбулися в Єревані (1968) і Вільнюсі (1971).
Літ.: Нейман Дж. Моргенштерн О., Теорія ігор і економічна поведінка, пер.(переведення) з англ.(англійський), М. 1970; Льюс Р., Райфа Х., Ігри і рішення, пер.(переведення) з англ.(англійський), М., 1961; Карлін С., Математичні методи в теорії ігор, програмуванні і економіці, пер.(переведення) з англ.(англійський), М., 1964; Горобців Н. Н., Сучасний стан теорії ігор, «Успіхи математичних наук», 1970, т. 25 № 2(152), с. 80—140; Оуен Г., Теорія ігор, пер.(переведення) з англ.(англійський), М., 1971; Contributions to the theory of games, v.1—4, Princeton, 1950—59; Advances in game theory Princeton, 1964.
