Антагоністичні ігри (матем.), поняття теорії ігор (див. Ігор теорія ). А. і. — ігри, в яких беруть участь два гравці (що зазвичай позначаються I і II) з протилежними інтересами. Для А. і. характерний, що виграш одного гравця дорівнює програшу іншого і навпаки, тому спільні дії гравців, їх переговори і угоди позбавлені сенсу. Більшість азартних і спортивних ігор з двома учасниками (командами) можна розглядати як А. і. Ухвалення рішень в умовах невизначеності, у тому числі ухвалення статистичних рішень, також можна інтерпретувати як А. і. Визначаються А. і. завданням безлічі стратегій гравців і виграшів гравця I в кожній ситуації, що полягає у виборі гравцями своїх стратегій. Таким чином, формально А. і. є трійка ‹ А , В , Н› , в якій А і В — безліч стратегій гравців, а Н ( а , b ) — речова функція (функція виграшу) від пар ( а , b ), де а Î A , b Î У . Гравець I, вибираючи а , прагне максимізувати Н ( а , b ), а гравець II, вибираючи b , — мінімізувати Н ( а , b ). А. і. з кінцевою безліччю стратегій гравців називаються матричними іграми .
Основою доцільної поведінки гравців в А. і. вважається принцип мінімакса . Слідуючи йому, I гарантує собі виграш
так само II може не дати I більше, ніж
Якщо ці «мінімакси» рівні то їх загальне значення називається значенням гри, а стратегії, на яких досягаються зовнішні екстремуми, — оптимальними стратегіями гравців. Якщо «мінімакси» різні, то гравцям слід застосовувати змішані стратегії, тобто вибирати свої первинні («чисті») стратегії випадковим чином з певною вірогідністю. В цьому випадку значення функції виграшу стає випадковим величиною, а її математичне чекання береться за виграш гравця I (відповідно, за програш II). У іграх проти природи оптимальну змішану стратегію природи можна приймати як найменш сприятливий апріорний розподіл вірогідності її станів. У А. і. гравці, використовуючи свої оптимальні стратегії, чекають здобуття (наприклад, в середньому, якщо гра повторюється багато разів) сповна певних виграшів. На цьому заснований рекурентний підхід до динамічних ігор в тих випадках, коли вони зводяться до послідовностей А. і., вирішення яких можна знайти безпосередньо (наприклад, якщо ці А. і. є матричними). А. і. складають клас ігор, в яких принципові основи поведінки гравців досить ясні. Тому всякий аналіз загальніших ігор при допомозі А. і. корисний для теорії. Приклад такого аналізу дає класична кооперативна теорія ігор, що вивчає загальні беськоаліционниє ігри через системи А. і. кожній з коаліцій гравців проти коаліції, що складається зі всіх останніх гравців.
Літ.: Безконечні антагоністичні ігри, під ред. Н. Н. Воробйова, М., 1963.
