Визначник , детермінант, особливого роду математичне вираження, що зустрічається в різних областях математики. Хай дана матриця порядку n , тобто квадратна таблиця, складена з п 2 елементів (чисел, функцій і т. п.):
(1)
(кожен елемент матриці забезпечений двома індексами: перший вказує номер рядка, другого, — номер стовпця, на пересіченні яких знаходиться цей елемент). Визначником матриці (1) називається многочлен, кожен член якого є твором n елементів матриці (1), причому з кожного рядка і кожного стовпця матриці в твір входить лише один співмножник, тобто многочлен вигляду
å ± а 1 а а 2 b ... a n g . (2)
В цій формулі а, b ..., g є довільна перестановка чисел 1, 2 ..., n . Перед членом береться знак +, якщо перестановка а, b ..., g парна, і знак –, якщо ця перестановка непарна. [Перестановку називають парною, якщо в ній міститься парне число порушень порядку (або інверсій), тобто випадків, коли більше число стоїть попереду меншого, і непарною – в протилежному випадку; так, наприклад, перестановка 51243 – непарна, оскільки в ній є 5 інверсій 51, 52, 54, 53, 43.] Підсумовування виробляється по всіх перестановках а, b ..., g чисел 1, 2 ..., n . Число різних перестановок n символів рівне n ! = 1·2·3·...· n ; тому Про. містить n ! членів, з яких 1 / 2 n ! береться із знаком + і 1 / 2 n ! із знаком –. Число n називається порядком О.
О., складений з елементів матриці (1), записують у вигляді:
(3)
(або, скорочено, у вигляді | a ik |). Для О. 2-го і 3-го порядків маємо формули:
= а 11 а 22 – а 12 а 21 ,
= а 11 а 22 а 33 + а 12 а 23 а 31 + а 13 а 21 а 32 – а 11 а 23 а 32 – а 12 а 21 а 33 – а 13 а 22 а 31 .
О. 2-го і 3-го порядків допускають просте геометричне тлумачення: дорівнює площі паралелограма, побудованого на векторах а 1 = ( x 1 , в 1 ) і а 2 = ( х 2 . в 2 ), а дорівнює об'єму паралелепіпеда, побудованого на векторах а 1 = ( x 1 , в 1 , z 1 ), а 2 = ( x 2 , в 2 , z 2 ) і а 3 = ( х 3 , в 3 , z 3 ) (системи координат передбачаються прямокутними).
Теорія О. виникла у зв'язку із завданням вирішення систем рівнянь алгебри 1-ої міри (лінійні рівняння ). У найбільш важливому випадку, коли число рівнянь дорівнює числу невідомих, така система може бути записана у вигляді:
(4)
Ця система має одне певне рішення, якщо О. | a ik |, складений з коефіцієнтів при невідомих, не дорівнює нулю; тоді невідоме x m ( m = 1, 2 ..., n ) дорівнює дробу, в якого в знаменнику стоїть Про.| a ik |, а в чисельнику — О., отримуваний з | a ik | заміною елементів m -го стовпця (тобто коефіцієнтів при х т ) числами b 1 , b 2 ..., b n . Так, у випадку системи двох рівнянь з двома невідомими
рішення дається формулами
; .
Якщо b 1 = b 2 = ..., = b n = 0, то систему (4) називається однорідною системою лінійних рівнянь. Однорідна система має відмінні від нуля рішення, лише якщо | a ik | = 0. Зв'язок теорії О. з теорією лінійних рівнянь дозволив застосувати теорію О. до вирішення великого числа завдань аналітичної геометрії. Багато формул аналітичної геометрії зручно записувати за допомогою О.; наприклад, рівняння плоскості, що проходить через крапки з координатами> ( x 1 , в 1 , z 1 ), ( x 2 , в 2 , z 2 ) ( х 3 , в 3 , z 3 ), може бути записано у вигляді:
= 0.
О. володіють рядом важливих властивостей, які, зокрема, полегшують їх обчислення. Прості з цих властивостей наступні:
1) O. не змінюється, якщо в нім рядки і стовпці поміняти місцями:
= ;
2) О. міняє знак, якщо в нім поміняти місцями два рядки (або два стовпці); так, наприклад:
= –;
3) О. дорівнює нулю, якщо в нім елементи двох рядків (або двох стовпців) відповідно пропорційні; так, наприклад:
= 0;
4) загальний множник всіх елементів рядка (або стовпця) О. можна винести за знак О.; так, наприклад:
= до ;
5) якщо кожен елемент якого-небудь стовпця (рядки) О. є сума два доданків, то О. дорівнює сумі два О., причому в одному з них відповідний стовпець (рядок) складається з перших доданків, а в іншому — з других доданків, останні ж стовпці (рядки) — ті ж, що і в даному О.; так, наприклад:
= + ;
6) О. не змінюється, якщо до елементів одного рядка (стовпця) додати елементи іншого рядка (іншого стовпця), помножені на довільний множник; так, наприклад:
= ;
7) О. може бути розкладений по елементах якого-небудь рядка або якого-небудь стовпця. Розкладання О. (3) по елементах i -го рядка має наступний вигляд:
= a i 1 A i 1 + a i 2 A i 2 + ...+ a in A in .
Коефіцієнт A ik , що стоїть при елементі a ik в цьому розкладанні, називається доповненням алгебри елементу a ik . Доповнення алгебри може бути обчислене за формулою: A ik = (–1) i + до D ik , де D ik — мінор (підвизначник, субдетермінант), додатковий до елементу a ik , тобто О. порядку n- 1, що виходить з даного О. за допомогою викреслювання рядка і стовпця, на пересіченні яких знаходиться елемент a ik . Наприклад, розкладання О. 3-го порядку по елементах другого стовпця має наступний вигляд:
= –a 12 + a 22 – a 32 .
За допомогою розкладання по елементах рядка або стовпця обчислення О. n -го порядку приводиться до обчислення n визначників ( n - 1) -го порядку. Так, обчислення О. 5-го порядку приводиться до обчислення п'яти О. 4-го порядку; обчислення кожного з цих О. 4-го порядку можна, у свою чергу, привести до обчислення чотири О. 3-го порядку (формула для обчислення О. 3-го порядку приведена вище). Проте, за винятком простих випадків, цей метод обчислення О. практично застосовний лише для О. порівняно невеликих порядків. Для обчислення О. великого порядку розроблені різні, практично зручніші методи (для обчислення О. n -го порядку доводиться виконувати приблизно n 3 арифметичних операцій).
Відзначимо ще правило множення два О. n -го порядку: твір два О. n -го порядку може бути представлене у вигляді О. того ж n -го порядку, в якому елемент, що належить i -у рядку і до -у стовпцю, виходить, якщо кожен елемент i -го рядка першого множника помножити на відповідний елемент до -го стовпця другого множника і всіх цих творів скласти; іншими словами, твір О. двох матриць дорівнює О. твору цих матриць.
В математичному аналізі О. систематично використовуються після робіт німецького математика До. Якобі (2-я чверть 19 ст), що дослідив О., елементи яких є не числами, а функціями одного або декількох змінних. З таких О. найбільший інтерес представляє визначник Якобі (якобіан )
.
Визначник Якобі дорівнює коефіцієнту спотворення об'ємів при переході від неремінних х 1 , x 2 ..., х п до змінних
в 1 = f 1 ( x 1 ..., x n ),
в 2 = f 2 ( x 1 ..., x n ),
........
y n = f n ( x 1 ..., x n ).
Тотожна рівність в деякій області цього О. нулю є необхідною і достатньою умовою залежності функцій f 1 ( x 1 ..., x n ), f 2 ( x 1 ..., x n ) ..., f n ( x 1 ..., x n ).
В 2-ій половині 19 ст виникла теорія О. безконечного порядку. Безконечними О. називаються вирази вигляду:
(5)
(однобічний безконечний О.) і
(двосторонній безконечний О.). Безконечний О. (5) є межа, до якої прагне О.
при безконечному зростанні числа n . Якщо ця межа існує, то О. (5) називається таким, що сходиться, в осоружному випадку — що розходиться. Дослідження двостороннього безконечного О. інколи можна привести до дослідження деякого однобічного безконечного О.
Теорія О. кінцевого порядку створена в основному в 2-ій половині 18 ст і 1-ій половині 19 ст (роботами швейцарського математика Р. Крамера, французьких математиків А. Вандермонда, П. Лапласа, О. Коші, німецьких математиків До. Гауса і К. Якобі). Термін «Про.» («детермінант») належить До. Гаусу, сучасне позначення — англійському математикові А. Келі .
