Лінійне рівняння , рівняння, в яке невідомі входять в 1-ій мірі (тобто лінійно) і відсутні члени, що містять твори невідомих. Декілька Л. в. відносно одних і тих же невідомих утворюють систему Л. в. Вирішенням системи Л. в. називають набір чисел c 1 , c 2 ..., c n , що обертають всі рівняння в тотожність після підстановки їх замість відповідних невідомих. Система Л. в. може мати як одне єдине рішення, так і безконечну безліч рішень (невизначена система); може також виявитися, що система Л. в. не має жодного рішення (неспільна система).
Найчастіше зустрічається випадок, коли число рівнянь збігається з числом невідомих. Одне Л. в. з одним невідомим має вигляд:
ах = b ;
рішенням його при а ¹ 0 буде число b/a. Система двох Л. в. з двома невідомими має вигляд:
(1)
де a 11 , a 12 , a 21 , a 22 , b 1 , b 2 — які-небудь числа. Вирішення системи (1) можна отримати за допомогою визначників:
,
;
тут передбачається, що що стоїть в знаменнику визначник відмінний від нуля. У чисельниках коштують визначники, що виходять з D заміною в нім одного стовпця стовпцем вільних членів b 1 , b 2 ; у вираженні для першого невідомого x 1 замінюється перший стовпець, а у вираженні для другого невідомого x 2 — другий.
Аналогічне правило застосовне і при вирішенні будь-якої системи і Л. в. з n невідомими, тобто системи вигляду:
(2)
тут a ij і b i ( i, j = 1, 2 ..., n ) — довільні числові коефіцієнти; числа b 1 , b 2 ..., b n називають зазвичай вільними членами. Якщо визначник D = ½a ij ½ системи (2), складений з коефіцієнтів a ij при невідомих, відмінний від нуля, те рішення виходить таким чином: до -і ( до = 1, 2 ..., n ) невідоме x до дорівнює дробу, в знаменнику якої коштує визначник D , а в чисельнику — визначник, отриманий з D заміною в нім стовпця з коефіцієнтів при відшукуваному невідомому ( до -го стовпця) стовпцем вільних членів b 1 , b 2 ..., b n . Якщо D = 0, то система (2) або не має жодного рішення, або має безконечну безліч рішень.
Еслі все b i = 0 (систему Л. в. називають в цьому випадку однорідною), то при D ¹ 0 вирішення системи (2) буде нульовим (тобто все x до = 0). У практиці часто, проте, зустрічаються однорідні системи Л. в. з числом рівнянь на 1 менше числа невідомих, тобто системи вигляду:
(3)
Вирішення такої системи неоднозначне; з неї, як правило, можна знайти лише відношення невідомих:
x 1 : x 2 : ... : x n = D 1 : D 2 : ... : D n ,
де D n — помножений на ( — 1) до визначник, отриманий з матриці коефіцієнтів a ij системи (3) викреслюванням якогось стовпця (це правило застосовно лише тоді, коли хоч би один з визначників D i відмінний від 0).
Вперше вирішення систем (2) було отримане Р. Крамером в 1750; правило для знаходження вирішення цих систем носить до сих пір назва правила Крамера. Побудова повної теорії систем Л. в. було закінчено лише через 100 років Л. Кронекером .
Загальна система m Л. в. з n невідомими має вигляд:
(4)
Питання про спільність системи Л. в. (4), тобто питання про існування рішення, вирішується порівнянням рангів матриць
і
Якщо ранги збігаються, то система спільна; якщо ранг матриці В більше рангу матриці Л, то система неспільна (теорема Кронекера — Капеллі). В разі спільності системи, її рішення можна знайти таким чином. Знайшовши в матриці А відмінний від нуля мінор найбільшого порядку г , відкидають m — r рівнянь, коефіцієнти яких не увійшли до цього мінору (відкидані рівняння будуть следствіямі тих, що залишилися, і тому їх можна не розглядати); у рівняннях, що залишилися, переносять направо ті невідомі, коефіцієнти яких не увійшли до вибраного мінору (вільні невідомі). Надавши вільним невідомим будь-які числові значення, отримують систему з r рівнянь з r невідомими, яку можна вирішити за правилом Крамера. Знайдені значення r невідомих разом із значеннями вільних невідомих дадуть деяке приватне (тобто одне з багатьох можливих) вирішення системи (4). Можна, не даючи вільним невідомим конкретних значень, безпосередньо виразити через них останні невідомі. Так виходить загальне рішення, тобто рішення, в якому невідомі виражені через параметри; даючи цим параметрам довільні значення, можна отримати всі приватні вирішення системи.
Однорідні системи Л. в. можна вирішувати таким же способом. Рішення їх володіють тією властивістю, що сума, різниця і взагалі будь-яка лінійна комбінація рішень (що розглядаються як n-мірні вектори) також буде вирішенням системи. Іншими словами: сукупність всіх вирішень однорідної системи Л. в. утворює лінійний підпростір n -мерного векторного простору. Систему рішень, які самі лінійно незалежні і дозволяють виразити будь-яке інше рішення у вигляді їх лінійної комбінації (тобто базис лінійного підпростору), називають фундаментальною системою вирішень однорідної системи Л. в.
Між вирішеннями системи Л. в. (4) і відповідної однорідної системи Л. в. (тобто рівнянь з тими ж коефіцієнтами при невідомих, але з вільними членами, рівними нулю) існує простий зв'язок: загальне вирішення неоднорідної системи виходить із загального вирішення однорідної системи збільшенням до нього якого-небудь приватного вирішення неоднорідної системи Л. в.
Великої наочності викладу в теорії Л. в. можна добитися, використовуючи геометричну мову. Залучаючи при цьому до розгляду лінійні оператори у векторних просторах (розглядаючи рівняння вигляду Ax = b, А — лінійний оператор, х і b — вектори), легко встановити зв'язок даних Л алгебри. в. з Л. в. у безконечномірних просторах (системи Л. в. з безконечним числом невідомих), зокрема с Л. в. у функціональних просторах, наприклад лінійні диференціальні рівняння, лінійні інтегральні рівняння (див. Інтегральні рівняння ) і ін.
Вживання правила Крамера при практичному вирішенні великого числа Л. в. може зустріти значні труднощі, оскільки знаходження визначників високого порядку пов'язане з дуже великими обчисленнями. Були тому розроблені різні методи чисельного (наближеного) вирішення систем Л. в. (див. Чисельне вирішення рівнянь ) .
Літ.: Енциклопедія елементарної математики, під ред. П. С. Александрова [і ін.], кн. 2, М. — Л., 1951; Фаддєєв Д. До., Фаддєєва Ст Н., Обчислювальні методи лінійної алгебри, 2 видавництва, М. — Л., 1963.
