Інтегральні рівняння, рівняння, що містять невідомі функції під знаком інтеграла. Багаточисельні завдання фізики і математичної фізики приводять до І. у. різних типів. Хай, наприклад, потрібно за допомогою деякого оптичного приладу отримати зображення лінійного об'єкту А , що займає відрізок 0 £ x £ l осі Ox , причому освітленість об'єкту характеризується щільністю u ( x ). Зображення В є деяким відрізком іншої осі x 1 ; останній шляхом відповідного вибору початку відліку і одиниці довжини також можна поєднати з відрізком 0 £ x 1 £ l . Якщо диференціально мала ділянка ( х , х + D х ) об'єкту А викликає освітленість зображення В з щільністю K ( x 1 , x ) u ( x ) dx , де функція K ( x 1 , x ) визначається властивостями оптичного приладу, то повна освітленість зображення матиме щільність
Залежно від того, чи хочуть добитися заданої освітленості v ( x 1 ) зображення або «точного» фотографічного зображення [ v ( x ) = ku ( x ), де постійна до заздалегідь не фіксується], або, нарешті, певної різниці освітленості А і В [ u ( x ) — v ( x ) = f ( x )], приходять до різних І. в. відносно функції u ( x ):
Взагалі, лінійним інтегральним рівнянням 1-го роду називається рівняння вигляду
лінійним інтегральним рівнянням 2-го роду, або рівнянням Фредгольма, —уравненіє вигляду
[при f ( x ) º 0 воно називається однорідним рівнянням Фредгольма]; зазвичай розглядаються рівняння Фредгольма з параметром l:
У всіх рівняннях функція
— так зване ядро І. в. — відома, так само, як функція f ( x ) ( а £ х £ b ); шуканою є функція u ( x ) ( а £ х £ b ).
Функції K ( x, в ), f ( x ), u ( x ) і параметр рівняння l можуть набувати як дійсних, так і комплексних значень. У окремому випадку, коли ядро K ( x , в ) перетворюється на нуль при в > х , виходить рівняння Вольтерра:
І. в. називається особливим, якщо хоч би одна з меж інтеграції безконечний або ядро K ( x , в ) звертається в нескінченність в одній або декількох точках квадрата а £ х £ b, а £ в £ b або на деякій лінії. І. в. може відноситися і до функцій декілька змінних: таке, наприклад, рівняння
Розглядаються також нелінійні І. в., наприклад рівняння вигляду
або
Лінійні І. в. 2-го роду вирішуються наступними методами: 1) вирішення u ( x ) виходить у вигляді ряду по мірах l (що сходиться в деякому крузі |l|< K ) з коефіцієнтами, залежними від х (метод Вольтерра — Неймана); 2) вирішення u ( x ), при тих значеннях l, при яких воно взагалі існує, виражається через деякі цілі функції від l (метод Фредгольма); 3) у разі, коли ядро симетричне, тобто До ( х , в ) º До ( в , x ), вирішення u ( x ) виражається у вигляді ряду по ортогональних функціях u до ( х ), що є ненульовими вирішеннями відповідного однорідного рівняння
(останнє має відмінні від нуля рішення лише при деяких спеціальних значеннях параметра l = l до , до = 1, 2 ...) (метод Гільберта — Шмідта); 4) у деяких окремих випадках рішення порівняльне просто виходить за допомогою Лапласа перетворення ; 5) у разі, коли
(так зване вироджене ядро), відшукання u ( х ) зводиться до вирішення системи рівнянь алгебри. Наближені рішення можна отримати, або застосувавши до яку-небудь формулу чисельної інтеграції, або замінивши дане ядро До ( х , в ) деяким виродженим ядром, що мало відрізняється від До ( х , в ). ДО І. в. часто зводяться краєві завдання для диференціальних рівнянь, звичайних і з приватними похідними; таке зведення має і теоретичну і практичну цінність.
Літ.: Смирнов Ст І., Курс вищої математики, 3 видавництва, т. 4, М., 1957; Петровський І. Г., Лекції з теорії інтегральних рівнянь, 3 видавництва, М., 1965; Канторовіч Л. Ст і Крилов Ст І., Наближені методи вищого аналізу, 5 видавництво, Л. — М., 1962.
