Лапласа перетворення , перетворення, що переводить функцію f (t) дійсного змінного t (0 < t < ¥), звану «оригіналом», у функцію
(1)
комплексного змінного р =s +it. Під Л. п. розуміють також не лише само перетворення, але і його результат — функцію F ( p ). Інтеграл в правій частині формули (1) називається інтегралом Лапласа. Він був розглянутий П. Лапласом у ряді робіт, які об'єднані в його книзі «Аналітична теорія вірогідності», що вийшла в 1812. Значно раніше (у 1737) такі інтеграли застосовував до вирішення диференціальних рівнянь Л. Ейлер .
За деяких умов, вказаних нижче, Л. п. визначає функцію f ( t ) однозначно, в простих випадках — по формулі звернення:
(2)
Л. п. є лінійним функціональним перетворенням. З числа основних формул Л. п. можна відзначити наступні:
,
, n = 1, 2 .,
, t >0.
Л. п. у поєднанні з формулою (2) його звернення застосовується до інтеграції диференціальних рівнянь. Зокрема, через властивість (1) і лінійність, Л. п. вирішення звичайного лінійного диференціального рівняння з постійними коефіцієнтами задовольняє рівнянню алгебри 1-ої міри і може бути, отже, легко знайдено. Так, якщо, наприклад, у’’ + в = f ( t ) , в (0) = в’ (0) = 0
і Y ( p ) = L [y], F ( p ) = L [f],
те L [y’’] = p 2 Y ( p )
і p 2 Y ( p ) + Y ( p ) = F ( p ) ,
звідки
Багаточисельні завдання електротехніки, гідродинаміки, механіки, теплопровідності ефективно вирішуються методами, що використовують Л. п.
Л. п. знайшло особливо широке вживання в обгрунтуванні операційного числення, в якому зазвичай замість Л. п. F (p) вводиться «зображення» оригінала f ( t ) — функція pf ( p ) .
Сучасна загальна теорія Л. п. будується на основі інтеграції в сенсі Лебега (див. Інтеграл ) . Для застосовності Л. п. до функції f ( t ) необхідно, щоб f ( t ) була інтегрована в сенсі Лебега на будь-якому кінцевому інтервалі (0, t), t > 0 і інтеграл (1) для неї сходився хоч би в одній точці p 0 = s 0 + it 0 . Якщо інтеграл (1) сходиться в точці р 0 , то він сходиться в усіх точках р, для яких Re ( р—р 0 ) > 0. Т. о., якщо інтеграл (1) сходиться хоч би в одній точці плоскості p 0 , то або він сходиться у всій плоскості, або існує таке число s з , що при Re p > s з інтеграл (1) сходиться, а при Re р < s з розходиться. Число s з називається абсцисою збіжності інтеграла Лапласа. F ( p ) —аналітична функція в напівплощині Re р > s з .
Літ.: Діткин Ст А. і Ковалів П. І., Довідник по операційному численню. Основи теорії і таблиці формул, М. — Л., 1951; Діткин Ст А. і Прудников А. П., Інтегральні перетворення і операційне числення, М., 1961; Деч Р., Керівництво до практичного вживання перетворення Лапласа, пер.(переведення) з йому.(німецький), М., 1965.
