Операційне числення , один з методів математичного аналізу, що дозволяє у ряді випадків за допомогою простих правил вирішувати складні математичні завдання. О. і. має особливо важливе значення в механіці, автоматиці, електротехніці і ін. У основі методу О. і. лежить ідея заміни функцій (оригіналів), що вивчаються, деякими ін. функціями (зображеннями), що отримуються з перших по певних правилах (зазвичай, зображення — функція, що отримується з даною Лапласа перетворенням ). При такій заміні оператор диференціювання р = інтерпретується як величина алгебри, унаслідок чого інтеграція деяких класів лінійних диференціальних рівнянь і вирішення ряду ін. завдань математичного аналізу зводиться до вирішення простіших завдань алгебри. Так, вирішення лінійного диференціального рівняння зводиться до простіший взагалі кажучи, завданню вирішення рівняння алгебри; з рівняння алгебри знаходять зображення вирішення даного рівняння, після чого по зображенню відновлюють само рішення. Операції знаходження зображення по оригіналові (і навпаки) полегшуються наявністю обширних таблиць «оригінал — зображення».
Для розвитку О. і. велике значення мали роботи англійського вченого О. Хевісайда. Він запропонував формальні правила поводження з оператором р = і деякими функціями від цього оператора. Користуючись О. і., Хевісайд вирішив ряд найважливіших завдань електродинаміки. Проте О. і. не отримало в працях Хевісайда математичного обгрунтування, багато його результатів залишалися недоведеними. Строге обгрунтування О. і. було дано за допомогою інтегрального перетворення Лапласа. Якщо при цьому перетворенні функція f ( t ), 0 £ t < + ¥, переходить у функцію F ( z ), z = x+iy :
f ( t ) ® F ( z ),
те похідна
f ( t ) ® zf ( z ) – f (0) (*)
і інтеграл
.
Отже оператор диференціювання р переходить в оператора множення на змінну z , а інтеграція зводиться до ділення на z . У слід.(наступний) короткій таблиці дані (при t ³ 0 ) приклади відповідності
оригінал ®
зображення
f ( t )
F ( z )
1
1/ z
t n
n !/ z n +1 ( n > 0 – ціле)
е l t
1/( z – l)
cos w t
z /( z 2 + w 2 )
sin w t
w/( z 2 + w 2 )
Приклад. Знайти методом О. і. вирішення в = f ( t ) лінійного диференціального рівняння
в” – у'' – 6 в = 2 e 4t
за початкових умов
в 0 = f (0) = 0 і в 0 ''= f ’(0) = 0.
Переходячи від шуканій функції f ( t ) і даній функції 2 e 4t до їх зображень F ( z ) і 2/( z – 4) (див. таблиці.) і застосовуючи формулу (*) для зображення похідних, отримаємо
z 2 F ( z ) – zf ( z ) – 6f ( z ) =,
або
F ( z ) = .
Звідки (знову по таблиці)
в = f ( t ) =
Інша дорога обгрунтування О. і. запропонований польським математиком Я. Мікусиньським (1953), що спирався на поняття функціонального кільця. Для обгрунтування методів О. і. можна скористатися теорією узагальнених функцій. Є різні узагальнення О. і. Існує багатовимірне О. і., засноване на теорії кратних інтегралів. Створені О. і. диференціальних операторів, відмінних від оператора р =, наприклад B = . Ці теорії також грунтуються на вивченні функціональних кілець, в яких належним чином визначено поняття твору функцій.
Літ.: Діткин Ст А., Прудников А. П., Довідник по операційному численню, М., 1965; їх же, Операційне числення, М., 1966; Мікусинський Я., Операційне числення, пер.(переведення) з польськ.(польський), М., 1956; Штокало І. 3., Операційне числення, До., 1972.
