Інтеграл (від латів.(латинський) integer — цілий), одне з найважливіших понять математики, що виникло у зв'язку з потребою, з одного боку, відшукувати функції по їх похідних (наприклад, знаходити функцію, що виражає дорогу, пройденний рухомою крапкою, за швидкістю цієї крапки), а з іншої — вимірювати площі, об'єми, довжини дуг, роботу сил за певний проміжок часу і тому подібне Відповідно з цим розрізняють невизначені і визначені І., обчислення яких є завданням інтегрального числення .
Невизначений інтеграл. Первісна функції f ( x ) одного дійсного змінного — функція F ( x ), похідна якої при кожному значенні х рівна f ( x ). Додаючи постійну до первісної якій-небудь функції, знов отримують первісну тій же функції. Отже, маючи одну первісну F ( x ) функції f ( x ), отримують загальне вираження всіх первісних цій функції у вигляді F ( x ) + С. Це загальне вираження первісних називають невизначеним інтегралом:
функції f ( x ). Одна з основних теорем інтегрального числення встановлює, що кожна безперервна функція f ( x ) дійсного змінного має невизначений І.
Певний інтеграл . Визначений І. функції f ( x ) з нижньою межею а і верхньою межею b можна визначити як різниця
де F ( x ) є первісна функції f ( x ); визначення не залежить від того, яка з первісних вибрана для обчислення певного І. Еслі функція f ( x ) безперервна, то приведене визначення в разі а < b рівносильно наступному визначенню, даному О. Коші (1823): розглядають довільне розбиття відрізання [ а , b ] точками
в кожному відрізку [x i— 1 , x i ] ( i = 1, 2. .. , n ) беруть довільну точку x i ( x i— 1 £ x i £ x i ) і утворюють суму
Сума S n залежить від вибору точок x i і x i . Проте в разі безперервної функції f ( x ) суми S n , що виходять при різному виборі точок x i і x i , прагнуть до сповна певної межі, якщо максимальна з різниць x i — x i— 1 прагне до нуля при n ® ¥. Ця межа і є певним інтегралом
За визначенням,
Визначений І., як вказано вище, виражається через будь-яку первісну F ( x ). Назад, первісна F ( x ) може бути записана у вигляді
де а — довільна постійна. Відповідно до цього невизначений І. записується у вигляді
Про виникнення поняття І., а також про властивості невизначених і визначених І. див.(дивися) Інтегральне числення .
Узагальнення поняття інтеграла
Інтеграл Рімана . О. Коши застосовував своє визначення І. лише до безперервних функцій. Назвати, за визначенням, інтегралом
межа сум S n при max ( x i — x i— 1 ) ® 0 у всіх тих випадках, коли ця межа однозначно визначена, запропонував Би. Ріман (1853). Він же досліджував умови застосовності такого визначення. Досконалішу форму цим умовам додав А. Лебег (1902), користуючись введеним ним поняттям міри безлічі (див. Заходи теорія ). Для інтегрованості в сенсі Рімана функції f ( x ) на [ а, b ] є необхідною і достатньою сукупність двох умов: f ( x ) обмежена на [ а, b ], безліч тих, що поміщаються [ а , b ] точок розриву функції f ( x ) має міру, рівну нулю. Таким чином, безперервність в кожній точці відрізання [ а , b ] зовсім не обов'язкова для інтегрованості по Ріману.
Невизначений І. і первісну можна тепер визначати формулами (5) і (4). Слід лише відмітити, що при цьому первісна F ( x ) не зобов'язана мати підінтегральної функції f ( x ) своєї похідної в кожній крапці. Але в кожній точці безперервності f ( x ), т. е., через результат Лебега, усюди, окрім, можливо, безліч міри, рівної нулю, буде
Р. Дарбу (1879) дав визначення інтеграла Рімана, яке робить особливо наочними умовами існування такого І. Вместо сум (3) Дарбу вводить суми (звані сумами Дарбу)
де M до — верхня грань функції f ( x ) на відрізку [ x k— 1 , x до ], а m до — нижня грань f ( x ) на тому ж відрізку. Якщо нижня грань сум, а — верхня грань сум, то для існування інтеграла Рімана необхідно і достатнє умова Загальне значення величин і і є інтегралом Рімана (6). Самі величини і називаються верхнім і відповідно, ніжнім інтегралами Дарбу.
Інтеграл Лебега. Введене Лебегом поняття міри безлічі дозволило дати значно ширше визначення І. Чтоби визначити І. (6), Лебег ділить точками
... < в -2 < в -1 < в 0 < в -1 < ... < y i <...
область можливих значень змінного в = f ( x ) і позначає M i безліч тих точок х з відрізання [ а, b ], для яких
y i— 1 £ f ( x ) < y i .
Сума S визначається рівністю
S = S i h i m( M i ),
де h i береться з відрізання y i— 1 £ h i < y i , а m( M i ) позначає міру безлічі M i . Функція f ( x ) називається інтегрованою в сенсі Лебега на відрізку [ а , b ], якщо ряди, що визначають суми S , абсолютно сходяться при max( y i — y i— 1 )® 0. Межа цих сум і називається інтегралом Лебега (6). Можна визначити первісну в сенсі Лебега як функцію F ( x ), що задовольняє рівності (4), де І. у правій частині розуміється по Лебегу. Як і в разі інтеграла Рімана, рівність (7) при цьому виконуватиметься в усіх точках, окрім, можливо, безлічі, що має міру, рівну нулю.
Для інтегрованості по Лебегу обмеженій функції f ( x ) необхідно і досить, щоб вона належала до вимірних функцій в сенсі Лебега. Всі функції, що зустрічаються в математичному аналізі, ізмеріми в цьому сенсі. Більш того, до теперішнього часу (1972) не побудовано жодного індивідуального прикладу невимірної функції. Таким чином, для випадку обмежених функцій Лебег вирішив завдання визначення інтеграла (6) із спільністю, вичерпною потреби математичного аналізу. Серед функцій, інтегрованих по Лебегу, є скільки завгодно функцій, усюди розривних і, отже, неінтегрованих по Ріману. Навпаки, кожна інтегрована по Ріману функція інтегрована і по Лебегу.
Визначення Лебега узагальнюється на випадок інтеграції по напівпрямій і по повній прямій, тобто на випадок І. вигляду
Після цього узагальнення теорія Лебега охоплює всі випадки тих, що абсолютно сходяться невласних інтегралів .
Спільність, досягнута у визначенні Лебега, вельми істотна в багатьох питаннях математичного аналізу; наприклад, лише з введенням інтеграла Лебега могла бути встановлена теорема Фішера — Рису в теорії тригонометричних рядів, через яку будь-який ряд
для якого
представляє функцію f ( x ), що породжує коефіцієнти a n і b n по формулах
де І. розуміються в сенсі Лебега.
Інтеграл Стилт'єсу. В кінці 19 ст визначення інтеграла Рімана піддалося абсолютно іншому узагальненню, ніж те, до якого привело введення поняття міри безлічі. Це узагальнення було дане Т. Стилт'єсом (1894). Хай f ( x ) — безперервна функція дійсного змінного х , визначена на відрізку [ а , b ], і U ( x ) — визначена на тому ж відрізку обмежена монотонна (неубутна або незростаюча) функція. Для визначення інтеграла Стилт'єсу беруть довільне розбиття (2) відрізання [ а , b ] і складають суму
f (x 1 ) [ U ( x 1 ) — U ( x 0 )] + f (x 2 ) [ U ( x 2 ) — U ( x 1 )] +...+ f (x n ) [ U ( x n ) — U ( x n— 1 )], (8)
де x 1 x 2 ..., x n — довільні крапки, вибрані відповідно на відрізках [ x 0 , x 1 ] [ x 1 , x 2 ] ..., [ x n —1 , x n ]. Хай d — найбільша відстань між двома послідовними точками ділення в розбитті (2). Якщо узяти будь-яку послідовність розбиття, для якої d прагне до нулю, то сума (8) матиме визначений, завжди одна і та ж межа, як би не вибиралися точки x 1 , x 2 , ..., x n на відповідних відрізках. Цю межу називають, слідуючи Стилт'єсу, інтегралом функції f ( x ) відносно функції U ( x ) і позначають символом
Інтеграл (9) (його називають також інтегралом Стилт'єсу) існує і у тому випадку, коли обмежена функція U ( x ), не будучи сама монотонною, може бути представлена у вигляді суми або різниці двох обмежених монотонних функцій U 1 ( x ) і U 2 ( x ):
U ( x ) = U 1 ( x ) — U 2 ( x ),
тобто є функцією з обмеженою зміною (див. Зміна функції ).
Якщо інтегруюча функція U ( х ) має обмежену і інтегровану по Ріману похідну U'' ( x ), то інтеграл Стилт'єсу зводиться до інтеграла Рімана по формулі
В частковості, коли U ( x ) = х + З , інтеграл Стилт'єсу (9) перетворюється на звичайний інтеграл Рімана (6).
Подальші узагальнення. Концепції І., створені Стилт'єсом і Лебегом, удалося згодом об'єднати і узагальнити на інтеграцію по будь-якій (вимірному) безлічі в просторі будь-якого числа вимірів. Класичні кратні інтеграли сповна охоплюються цим підходом. Потреби таких дисциплін, як теорія вірогідності і загальна теорія динамічним систем, привели до ще ширшого поняття абстрактного інтеграла Лебега, заснованого на загальних поняттях міри безлічі і вимірності функцій. Хай Х — простір, в якому виділена певна система В його підмножин, званих «вимірними», причому ця система володіє властивостями замкнутості по відношенню до звичайних теоретико-множинних операцій, що виконуються в кінцевому або рахунковому числі. Хай m — кінцева міра, задана на Ст Для В -ізмерімой функції в = f ( x ), х Î Х , що приймає кінцеве або рахункове число значень в 1 , в 2 ..., y n ..., відповідно на безлічі A, що попарно не перетинається, 1 ..., А n ..., сума яких є X інтеграл функції f ( x ) у міру m, що позначається
,
визначається як сума ряду
в припущенні, що цей ряд абсолютно сходиться. Для інших f інтегрованість і І. визначаються шляхом деякого природного граничного переходу від вказаних кусочно постійних функцій.
Хай А — вимірна безліч і j А ( х ) = 1 для х , належних А , і j А ( х ) = 0 для х, не належних А . Тоді інтеграл від f ( x ) по безлічі А визначають, вважаючи
При фіксованих m і А І. залежно від f може розглядатися як лінійний функціонал ; при фіксованому f І., як функція безлічі А , є рахунковий аддитивна функція.
Слід зазначити, що, не дивлячись на абстрагованість, що здається, це загальне поняття І. найбільшою мірою личить для визначення такого поняття, як математичне чекання (у теорії вірогідності), і навіть для загального формулювання завдання перевірки статистичних гіпотез. І. по відношенню до так званої міри Вінера і різних її аналогів використовують в статистичній фізиці (тут як Х фігурує простір безперервних на якому-небудь відрізку функцій). Згадувані до цих пір узагальнення поняття І. були такими, що f і | f | виявлялися інтегрованими або неінтегрованими одночасно.
Узагальнення первинного поняття І. у іншому напрямі відносяться до функціям одного змінного, та зате дають багато більше в дослідженні інтеграції необмежених функцій. Ще Коші в разі функції f ( x ), необмеженою в точці х = з , визначив інтеграл
,
коли а < з < b , як межа вираження
,
при e 1 ® 0 і e 2 ® 0 . Аналогічно І. з безконечними межами
визначається як межа І.
,
при а ® — ¥ і b ® + ¥. Якщо при цьому не вимагається інтегрованості | f ( x )|, тобто f ( x ) інтегрована «не абсолютно», то це визначення Коші не поглинається лебеговським.
Ще ширше узагальнення поняття І. у цьому напрямі було запропоновано А. Данжуа (1912) і А. Я. Хинчиним (1915).
Літ.: Лебег А., Інтеграція і відшукання примітивних функцій, пер.(переведення) з франц.(французький), М-код.—Л., 1934; Сакс С., Теорія інтеграла, пер.(переведення) з англ.(англійський), М., 1949; Камке Е., Інтеграл Лебега — Стилт'єсу, пер.(переведення) з йому.(німецький), М., 1959; Уїтні Х., Геометрична теорія інтеграції, пер.(переведення) з англ.(англійський), М., 1960; Рудін В., Основи математичного аналізу, пер.(переведення) з англ.(англійський), М., 1966; Данфорд Н., Шварц Дж. Т., Лінійні оператори. Загальна теорія, пер.(переведення) з англ.(англійський), М., 1962; Неве Же., Математичні основи теорії вірогідності, пер.(переведення) з франц.(французький), М., 1969; Federer Н., Geometric measure theory, Ст — Hdlb. — N. Y., 1969.
