Інтегральне числення, розділ математики, в якому вивчаються властивості і способи обчислення інтегралів і їх застосування. І. і. тісно пов'язано з диференціальним численням і складає разом з ним одну з основних частин математичного аналізу (або аналізу нескінченно малих). Центральними поняттями І. і. є поняття певного інтеграла і невизначеного інтеграла функцій одного дійсного змінного.
Певний інтеграл. Хай потрібно обчислити площу S «криволінійної трапеції» — фігури ABCD (см. мал.(малюнок) ), обмеженою дугою безперервної лінії, рівняння якої в = f ( x ), відрізком AB осі абсцис і двома ординатами AD і BC. Для обчислення площі S цієї криволінійної трапеції підставу AB (відрізок [ а , b ]) розбивають на n ділянок (необов'язково рівних) точками а = x 0 < x 1 < ... < x n-1 < < x n = b , позначаючи довжини цих ділянок D x 1 , D x 2 ..., D x n ; на кожному такій ділянці будують прямокутники з висотами f (x 1 ), f (x 2 ) ..., f (x n ) де x до — деяка крапка з відрізання [ x до - 1 , x до ] (на мал. заштрихований прямокутник, побудований на до-м-коді ділянці розбиття; f (x до ) — його висота). Сума S n площ побудованих прямокутників розглядається як наближення до площі S криволінійної трапеції:
S » S n = f (x 1 ) D x 1 + f (x 2 ) D x 2 + f (x n ) D x n
або, застосовуючи для скорочення запису символ суми S (грецька буква «сигма»):
Вказане вираження для площі криволінійної трапеції тим точніше, чим менше довжини D x до ділянок розбиття. Для знаходження точного значення площі S треба знайти межа сум S n в припущенні, що число точок ділення необмежено збільшується і найбільша з довжин D x до прагне до нуля.
Відволікаючись від геометричного вмісту розглянутого завдання, приходять до поняття певного інтеграла від функції f ( x ), безперервною на відрізку [ а, b ], як до межі інтегральних сум S n при тому ж граничному переході. Цей інтеграл позначається
Символ ò (подовжене S — перша буква слова Summa) називається знаком інтеграла, f ( x ) — підінтегральною функцією, числа а і b називаються нижньою і верхньою межами певного інтеграла. Якщо а = b , то, за визначенням, вважають
крім того,
Властивості певного інтеграла:
( до — постійна). Очевидно також, що
(чисельне значення певного інтеграла не залежить від вибору позначення змінної інтеграції).
До обчислення певних інтегралів зводяться завдання про вимірі площ, обмежених кривими (завдання «знаходження квадратури»), довжин дуг кривих («випрямлення кривих»), площ поверхонь тіл, об'ємів тіл («знаходження кубатур»), а також завдання визначення координат центрів тяжіння, моментів інерції, дороги тіла по відомій швидкості руху, роботи, вироблюваною силою, і багато інших завдань природознавства і техніки. Наприклад, довжина дуги плоскої кривої, заданої рівнянням в = f ( x ) на відрізку [ а , b ], виражається інтегралом
об'єм тіла, утвореного обертанням цієї дуги довкола осі Ox , — інтегралом
поверхня цього тіла — інтегралом
Фактичне обчислення певних інтегралів здійснюється різними способами. В окремих випадках певний інтеграл можна знайти, безпосередньо обчислюючи межу відповідної інтегральної суми. Проте переважно такий перехід до межі скрутний. Деякі певні інтеграли удається обчислювати за допомогою попереднього відшукання невизначених інтегралів (див. нижчий). Як правило ж, доводиться удаватися до наближеного обчислення певних інтегралів, застосовуючи різні квадратурні формули (наприклад, трапецій формулу, Сімпсона формулу ). Таке наближене обчислення може бути здійснене на ЕОМ(електронна обчислювальна машина) з абсолютною погрішністю, що не перевищує будь-якого заданого малого позитивного числа. В случаях, що не вимагають великої точності, для наближеного обчислення певних інтегралів застосовують графічні методи (див. Графічні обчислення ).
Поняття певного інтеграла поширюється на випадок необмеженого проміжку інтеграції, а також на деякі класи необмежених функцій. Такі узагальнення називаються невласними інтегралами .
Вирази вигляду
де функція f ( x , а) безперервна по x називаються інтегралами, залежними від параметра. Вони служать основним засобом вивчення багато спеціальних функцій (див., наприклад, Гамма-функція ).
Невизначений інтеграл. Знаходження невизначених інтегралів, або інтеграція, є операція, зворотна диференціюванню. При диференціюванні даної функції шукається її похідна. При інтеграції, навпаки, шукається первісна (або примітивна) функція — така функція, похідна якої дорівнює даній функції. Таким чином, функція F ( x ) є первісною для даної функції f ( x ), якщо F'' ( x ) = f ( x ) або, що те ж саме, df ( x ) = f ( x ) dx. Дана функція f ( x ) може мати різні первісні, але всі вони відрізняються один від одного лише постійними доданками. Тому всі первісні для f ( x ) містяться у вираженні F ( x ) + З , яке називають невизначеним інтегралом від функції f ( x ) і записують
Певний інтеграл як функція верхньої межі інтеграції
(«інтеграл із змінною верхньою межею»), є одна з первісних підінтегральній функції. Це дозволяє встановити основну формулу І. і. (формулу Ньютона — Лейбніца):
що виражає чисельне значення певного інтеграла у вигляді різниці значень якої-небудь первісної підінтегральної функції при верхній і нижній межах інтеграції.
Взаємно зворотний характер операцій інтеграції і диференціювання виражається рівністю
Звідси слідує можливість здобуття з формул і правил диференціювання відповідних формул і правил інтеграції (див. таблиці., де C , m , а , до — постійні і m ¹ —1, а > 0).
Таблиця основних інтегралів і правил інтеграції
¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾
¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾
Трудність І. і. в порівнянні з диференціальним численням полягає в тому, що інтеграли від елементарних функцій не завжди виражаються через елементарні, можуть не виражатися, як то кажуть, «в кінцевому вигляді». І. і. має в своєму розпорядженні лише окремі прийоми інтеграції в кінцевому вигляді, сфера застосування кожного з яких обмежена (способи інтеграції викладаються в підручниках математичного аналізу: обширні таблиці інтегралів приводяться в багатьох довідниках).
До класу функцій, інтеграли від яких завжди виражаються в елементарних функціях, належить безліч всіх раціональних функцій
де P ( x ) і Q ( x ) — многочлени. Багато функцій, що немає раціональними, також інтегруються в кінцевому вигляді, наприклад функції, раціонально залежні від
або ж від x і раціональних мір дробу
В кінцевому вигляді інтегруються і багато трансцендентних функцій, наприклад раціональні функції синуса і косинуса. Функції, які зображаються невизначеними інтегралами, що не беруться в кінцевому вигляді, є новими трансцендентними функціями. Багато хто з них добре вивчений (див., наприклад, Інтегральний логарифм, Інтегральний синус і інтегральний косинус, Інтегральна показова функція ).
Про розширення і узагальнення поняття інтеграла див.(дивися) ст. Інтеграл .
Історична довідка. Виникнення завдань І. і. пов'язано із знаходженням площ і об'ємів. Ряд завдань такого роду були вирішені математиками Древньої Греції. Антична математика передбачила ідеї І. і. у значно більшій мірі, чим диференціального числення. Велику роль при вирішенні таких завдань грав вичерпання метод, створений Евдоксом Кнідським і що широко застосовувався Архімедом . Проте Архімед не виділив загального вмісту інтеграційних прийомів і поняття про інтеграл, а тим більше не створив алгоритму І. і. Учені Середнього і Ближнього Сходу в 9—15 вв.(століття) вивчали і перекладали праці Архімеда загальнодоступною в їх середовищі арабською мовою, але істотно нових результатів в І. і. вони не отримали. Діяльність європейських учених в цей час була ще скромнішою. Лише у 16 і 17 вв.(століття) розвиток природних наук поставив перед математикою Європи ряд нових завдань, зокрема завдання на знаходження квадратури, кубатур і визначення центрів тягарі. Праці Архімеда, вперше видані в 1544 (на латинській і грецькій мовах), стали привертати широку увагу, і їх вивчення з'явилося одним з найважливіших відправних пунктів подальшого розвитку І. и. Античний «неделімих» метод був відроджений І. Кеплером . В загальнішій формі ідеї цього методу були розвинені Б. Кавальєрі, Е. Торрічеллі, Дж. Валлісом, Би. Паськалем . Методом «неделімих» були вирішені ряд геометричних і механічних завдань. До цього ж часу відносяться опубліковані пізніше за роботу П. Ферма по квадрірованію парабол n -ої міри, а потім — роботи Х. Гюйгенса по випрямленню кривих.
У результаті цих досліджень виявилася спільність прийомів інтеграції при вирішенні зовні несхожих завдань геометрії і механіки, що приводилися до квадратури як до геометричного еквіваленту певного інтеграла. Завершальною ланкою в ланцюзі відкриттів цього періоду було встановлення взаємно зворотному зв'язку між завданнями на проведення дотичної і на квадратуру, тобто між диференціюванням і інтеграцією. Основні поняття і алгоритм І. і. були створені незалежно один від одного І. Ньютоном і Г. Лейбніцом . Останньому належить термін «інтегральне числення» і позначення інтеграла ò ydx.
При цьому в роботах Ньютона основну роль грало поняття невизначеного інтеграла (флюенти, див.(дивися) Флюксій числення ), тоді як Лейбніц виходив з поняття певного інтеграла. Подальший розвиток І. і. у 18 ст пов'язано з іменами І. Бернуллі і особливо Л. Ейлера . На початку 19 ст І. і. разом з диференціальним численням було перебудовано О. Коші на основі теорії меж. У розвитку І. і. у 19 ст взяли участь російські математики М. Ст Остроградський, Ст Я. Буняковський, П. Л. Чебишев . В кінці 19 — початку 20 вв.(століття) розвиток теорії безлічі і теорії функцій дійсного змінного привело до поглиблення і узагальнення основних понять І. і. (Б. Ріман, А. Лебег і ін.).
Літ.: Історія. Ван дер Варден Би. Л., Наука, що прокидається, пер.(переведення) з голл.(голландський), М., 1959; Вілейтнер Р., Історія математики від Декарта до середини 19 століть, пер.(переведення) з йому.(німецький), 2 видавництва, М., 1966; Будівництв Д. Я., Короткий нарис історії математики, пер.(переведення) з йому.(німецький), 2 видавництва, М., 1969; Cantor М.. Vorleslingen über Geschichte der Mathematik, 2 Aufl., Bd 3—4, Lpz. — B., 1901—24.
Роботи основоположників і класиків І. і. Ньютон І., Математичні роботи, пер.(переведення) з латін., М-код.—Л., 1937; Лейбніц Г., Вибрані уривки з математичних вигадувань, пер.(переведення) с. латін., «Успіхи математичних наук», 1948, т. 3, ст 1; Ейлер Л., Інтегральне числення, пер.(переведення) з латін., тт. 1—3, М., 1956—58; Коші О. Л., Короткий виклад уроків про диференціальному і інтегральному численні, пер.(переведення) з франц.(французький), СП(Збори постанов) Би, 1831; його ж, аналіз Алгебри, пер.(переведення) з франц.(французький), Лейпціг, 1864.
Підручники і навчальні посібники по І. і. Хинчин Д. Я., Короткий курс математичного аналізу, 3 видавництва, 1957; Смирнов Ст І., Курс вищої математики, 22 видавництва, т. 1, М., 1967; Фіхтенгольц Р. М., Курс диференціального і інтегрального числення, 7 видавництво, т. 2, М., 1969; Ільін Ст, Позняк Е. Р., Основи математичного аналізу, 3 видавництва, ч. 1, М., 1971; Курант Р., Курс диференціального і інтегрального числення, пер.(переведення) з йому.(німецький) і англ.(англійський), 4 видавництва, т. 1, М., 1967; Двайт Г.-Б., Таблиці інтегралів і інші математичні формули, пер.(переведення) з англ.(англійський), М., 1964.
