Криволінійний інтеграл, інтеграл, узятий уздовж якої-небудь кривої на плоскості або в просторі. Розрізняють До. і. 1-го і 2-го типів. До. і. 1-го типа виникає, наприклад, при розгляді завдання про обчислення маси кривої змінної щільності; він позначається через
,
де З — задана крива, ds — диференціал її дуги, а f ( P ) — функція крапки на кривій, і є межею відповідних інтегральних сум (див. Інтеграл ) . В разі плоскої кривої З , заданою рівнянням в = в ( х ) , До. і. 1-го типа зводиться до звичайного інтеграла по формулі:
.
До. і. 2-го типа виникає, наприклад, при розгляді завдання про роботу силового поля; в разі плоскої кривої З він має вигляд:
і є також межею відповідних інтегральних сум. До. і. 2-го типа зводиться до звичайного інтеграла по формулі:
,
де х = x ( t ) , в = в ( t ) (а £ t £ b) — рівняння кривої З в параметричній формі, і до До. і. 1-го типа по формулі:
;
тут а — кут між віссю Ox і дотичній до кривої, направленої у бік зростання дуги.
Аналогічно визначається До. і. 2-го типа в просторі. ПРО ДО. і. 2-го типа з векторної точки зору див.(дивися) Векторне числення .
Хай D — деяка область і З — її кордон. За деяких умов між До. і. по кривій З і подвійним інтегралом по області D (див. Кратний інтеграл ) має місце співвідношення:
Особливо велике значення До. і. придбали в теорії функцій комплексного змінного (див. Аналітичні функції ) . До. і. мають широке вживання в різних областях механіки, фізики і техніки.
