Поверхневий інтеграл , інтеграл від функції, заданої на якій-небудь поверхні. До П. і. приводить, наприклад, завдання обчислення маси, розподіленої по поверхні S із змінною поверхневою щільністю f ( M ) . Для цього розбивають поверхню на частини s 1 , s 2 ..., s n і вибирають в кожній з них по точці M i . Якщо ці частини досить малі, то їх маси приблизно рівні f ( M i ) s i , а маса всієї поверхні буде рівна . Це значення тим ближче до точного, ніж менше частини s i . Тому точне значення маси поверхні є
,
де межа береться за умови, що розміри всіх частин s i (і їх площі) прагнуть до нуля. До аналогічних межам приводять і інші завдання фізики. Ці межі називають П. і. першого роду від функції f ( M ) по поверхні S і позначають
.
Їх обчислення приводиться до обчислення подвійних інтегралів (див. Кратний інтеграл ) .
В деяких завданнях фізики, наприклад при визначенні потоку рідини через поверхню S, зустрічаються межі аналогічних сум з тією лише різницею, що замість площ самих частин коштують площі їх проекцій на три координатну плоскість. При цьому поверхня S передбачається орієнтованою (тобто вказано, який з напрямів нормалей вважається позитивним) і площа проекції береться із знаком + або — залежно від того, чи є кут між позитивним напрямом нормалі і віссю перпендикулярній плоскості проекцій, гострим або тупим. Межі сум такого вигляду називають П. і. другого роду (або П. і. по проекціях) і позначають
.
На відміну від П. і. першого роду, знак П. і. другого роду залежить від орієнтації поверхні S.
М. Ст Остроградський встановив важливу формулу, що зв'язує П. і. другого роду по замкнутій поверхні S з потрійним інтегралом за обмеженим нею обсягом V (див. Остроградського формула ) . З цієї формули виходить, що якщо функції Р, Q, R мають безперервні приватні похідні і в об'ємі V виконується тотожність
,
то П. і. другого роду по всіх поверхнях, що містяться в V і мають один і той же контур, рівні між собою. В цьому випадку можна знайти такі функції P 1 , Q 1 , R 1 , що
.
Стоксу формула виражає криволінійний інтеграл по замкнутому контуру через П. і. другого роду по обмеженій цим контуром поверхні.
Літ.: Никольський С. М., Курс математичного аналізу, т. 2, М., 1973: Ільін Ст А., Позняк Е. Р., Основи математичного аналізу, ч. 2, М., 1973; Кудрявцев Л. Д., Математичний аналіз, 2 видавництва, т. 2, М., 1973.
