Кратний інтеграл, інтеграл від функції, заданої в якій-небудь області на плоскості, в тривимірному або n -мерном просторі. Серед До. і. розрізняють подвійні інтеграли, потрійні інтеграли і т. д. n -кратниє інтеграли.
Хай функція f ( x, в ) задана в деякій області D плоскості хОу. Розіб'ємо область D на n часткових областей d i , площі яких рівні s i , виберемо в кожній області d i крапку ( x i , h i ) (см. мал.(малюнок) ) і складемо інтегральну суму
.
Якщо при необмеженому зменшенні максимального діаметру часткових областей d i суми S мають межу незалежно від вибору крапок ( x i , h i ), то цю межу називають подвійним інтегралом від функції f ( x, в ) по області D і позначають
.
Аналогічно визначається потрійний інтеграл і взагалі n -кратний інтеграл.
Для існування подвійного інтеграла вистачає, наприклад, щоб область D була замкнутою квадрованою областю, а функція f ( x, в ) була безперервна в D. До. і. володіють рядом властивостей, аналогічних властивостям простих інтегралів . Для обчислення До. і. зазвичай приводять його до повторному інтегралу . В спеціальних випадках для відомості До. і. до інтегралів меншої розмірності можуть служити Гріна формули і Остроградського формула . До. і. мають обширні вживання: з їх допомогою виражаються об'єми тіл, їх маси, статичні моменти, моменти інерції і т. п.
