Поверхня, одне з основних геометричних понять. При логічному уточненні цього поняття в різних відділах геометрії йому додається різний сенс.
1) У шкільному курсі геометрії розглядаються плоскість, многогранники, а також деякі криві поверхні. Кожна з кривих П. визначається спеціальним способом, найчастіше як безліч крапок, що задовольняють деяким умовам. Наприклад, П. кулі — безліч крапок віддалених на заданій відстані від даної крапки. Поняття «П.» лише пояснюється, а не визначається. Наприклад, говорять, що П. є кордон тіла або слід рухомої лінії.
2) Математично строге визначення П. грунтується на поняттях топології. При цьому основним є поняття простої поверхні, яку можна представити як шматок плоскості, підданий безперервним деформаціям (розтягуванням, сжатіям і вигинанням). Точніше, простий П. називається образ гомеоморфного відображення (тобто взаємно однозначного і взаємно безперервного відображення) внутрішності квадрата (див. Гомеоморфізм ) . Цьому визначенню можна дати аналітичне вираження. Хай на плоскості з прямокутною системою координат u і u заданий квадрат, координати внутрішніх точок якого задовольняють нерівностям 0 < u < 1, 0 < u < 1. Гомеоморфний образ квадрата в просторі з прямокутною системою координат х, в, z задається за допомогою формул х = j( u, u ) , в = Y( u, u ) , z = з( u, u ) (параметричні рівняння П.). При цьому від функцій j( u, u ) , Y( u, u) і з( u, u) потрібний, щоб вони були безперервними і щоб для різних точок ( u, u) і ( u’, u ’ ) були різними відповідні точки ( x, в, z ) і ( x’, в’, z'' ) . Прикладом простий П. є півсфера. Вся ж сфера не є простою П. Ето викликає необхідність подальшого узагальнення поняття П. Поверхня, околиця кожної точки якої є проста П., називається правильною. З точки зору топологічної будови, П. як двовимірні різноманіття розділяються на декілька типів: замкнуті і відкриті орієнтовані і неорієнтовані і т.д. (див. Різноманіття ) .
В диференціальній геометрії досліджувані П. зазвичай підпорядковані умовам, пов'язаним з можливістю вживання методів диференціального числення. Як правило, це — умови гладкості П., тобто існування в кожній крапці П. певної дотичної плоскості, кривизни і т.д. Ці вимоги зводяться до того, що функції j( u, u) , Y( u, u) , з( u, u) передбачаються однократно, двічі, тричі, а в деяких питаннях — необмежене число разів що диференціюються або навіть аналітичними функціями. Крім того, потрібний, щоб в кожній крапці хоч би один з визначників
В аналітичній геометрії і в геометрії алгебри П. визначається як безліч крапок, координати яких задовольняють певному вигляду рівнянь:
Ф ( х, в, z ) = 0 . ( * )
Таким чином, визначена П. може і не мати наочного геометричного образу. В цьому випадку для збереження спільності говорять про уявних П. Наприклад, рівняння
х 2 + у 2 + z 2 + 1 = 0
визначає уявну сферу, хоча в дійсному просторі немає жодної крапки, координати якої задовольняють такому рівнянню (див. також Поверхні другого порядку ). Якщо функція Ф ( х, в, z ) безперервна в деякій крапці і має в ній безперервні приватні похідні, з яких хоч би одна не перетворюється на нуль, то в околиці цієї точки П., задана рівнянням (*), буде правильним П.
