Різноманіття, математичне поняття, що уточнює і узагальнювальне на будь-яке число вимірів поняття лінії і поверхні, що не містять особливих крапок (тобто лінії без точок самопересеченія, кінцевих крапок і тому подібне і поверхні без самопересеченій, країв і т. п.).
Прикладом одновимірного М. можуть служити пряма, парабола, коло, еліпс, взагалі будь-яка лінія, в кожної точки якої існує околиця, що є взаємно однозначним і безперервним (або, як говорять в топології, гомеоморфним) чином інтервалу (внутрішній частині відрізання прямої). Інтервал сам є одновимірним М., відрізок же немає М. (оскільки кінці його не мають околиць вказаного вигляду).
Прикладом двовимірного М. може служити будь-яка область на плоскості (наприклад, внутрішність круга x 2 + в 2 < r 2 ), сама плоскість, параболоїд, сфера, еліпсоїд, тор і тому подібне Двовимірні М. характеризуються тим, що в кожної їх крапки є околиця, гомеоморфна внутрішності круга. Ця вимога виключає, наприклад, з числа двовимірних М. конічну поверхню (її вершина, в якій сходяться дві її порожнини, не має необхідного вигляду околиці). Проте виділяють спеціальний клас об'єктів, які не задовольняють цій вимозі, — т.з. різноманіття з краєм (наприклад, замкнутий круг x 2 + в 2 £ r 2 ).
Прикладом тривимірного М. може служити звичайне евклідове простір, а також будь-яке відкрита безліч в евклідовом просторі. Тривимірні М. характеризуються тим, що в кожної їх крапки є околиця, гомеоморфна внутрішності кулі.
М. розділяються на замкнутих і відкритих (визначення див.(дивися) нижче). В разі одного виміру кожне замкнуте М. гомеоморфний кола, а кожне відкрите — прямій (на мал.(малюнок) 1 змальовані одновимірні М. і околиці точки Р на кожному з них). В разі двох вимірів вже замкнуті М. досить всілякі. Вони розпадаються на безконечне число топологічних типів: сфера — поверхня роду 0 ( мал. 2 , а), тор — поверхня роду 1 ( мал. 2 , би), «крендель» — поверхня роду 2 ( мал. 2 , в), взагалі «сфера з n ручками» — поверхня роду n (на мал. 2 , г змальована така поверхня при n = 3). Цими прикладами вичерпуються всі топологічні типи замкнутих двовимірних орієнтованих М. (див. також Орієнтована поверхня ) . Існує ще безконечне число замкнутих двовимірних неорієнтованих М. — однобічних поверхонь, наприклад проектна плоскість, т.з. однобічний тор (Клейна поверхня ) . Є і класифікація відкритих двовимірних М. Полная класифікація М. трьох вимірів не знайдена (1974) (навіть для випадку замкнутих М.).
Різноманіттям n вимірів (або n -мерним різноманіттям) називається всяке хаусдорфово топологічний простір, що володіє наступною властивістю: кожна його крапка має околицю, гомеоморфну внутрішності n -мерного кулі, і весь простір може бути представлене у вигляді суми кінцевої або безконечної (рахункового) безлічі таких околиць. М. називається замкнутим, якщо воно компактне (див. Компактність ) , інакше — відкритим. Інколи до визначення М. додають ще вимогу його зв'язності: кожні дві точки М. можуть бути в нім сполучені безперервною дугою.
Введення в математику поняття М. будь-якого (натурального) числа вимірів n було викликане вельми всілякими потребами геометрії, математичного аналізу, механіки і фізики. Важливість достатньої широти розуміння М. як топологічного простору заснована на тому, що точками таких певних М. можуть бути об'єкти будь-якої природи, наприклад прямі, сфери, матриці і так далі
При належному додаванні вимог до визначення М. встановлюється поняття гладкого, або що диференціюється, різноманіття. На гладкому М. є можливість розглядати функції, що диференціюються, і відображення, що диференціюються, в себе або в інші гладкі М. М. Гладкие мають особливо велике значення в сучасній математиці, оскільки саме вони найширше використовуються в додатках і суміжних областях (наприклад, конфігураційні простори і фазові простори в механіці і фізиці). На гладких М. можна ввести метрику, перетворивши його на ріманово простір . Це дозволяє будувати диференціальну геометрію на М. Наприклад, ввівши деяким чином метрику в конфігураційному просторі механічної системи, можна тлумачити траєкторії руху як геодезичні лінії в цьому просторі (див. Найменшої дії принцип ) . М., для елементів якого визначено (що диференціюється) множення, що перетворює М. на групу, називається групою Лі (див. Безперервна група ) .
Поняття М. грає велику роль в теорії функцій алгебри, безперервних груп і так далі У всіх цих застосуваннях істотні властивості М., що не змінюються при топологічних перетвореннях, — т.з. топологічні властивості. До них відносяться, наприклад, орієнтовність або неорієнтовність М. (див. Орієнтація ) . Вивчення цих властивостей є одному з найважливіших завдань топології.
Літ.: Александров П. С. і Єфремович Ст А., Нарис основних понять топології, М. — Л., 1936; Александров П. С., Комбінаторна топологія, М. — Л., 1947; Ленг С., Введення в теорію многообразій, що диференціюються, пер.(переведення) з англ.(англійський), М., 1967.
