Орієнтація, узагальнення поняття напряму на прямій на геометричній фігурі складнішої структури.
Орієнтація на прямій. Крапка може рухатися по прямій в двох протилежних напрямах. Наприклад, по горизонтальній прямій АВ ( мал. 1 ) можливо або рух справа наліво, або рух зліва направо. Пряма разом з вказівкою певного напряму на ній називається орієнтованою прямій.
Орієнтація на кривій. Аналогічно орієнтації на прямій кожну замкнуту криву можна орієнтувати або проти годинникової стрілки, або за годинниковою стрілкою ( мал. 3 ).
Орієнтація на плоскості. Хай який-небудь шматок плоскості обмежений простою замкнутою кривою (тобто замкнутою кривою без кратних крапок). Ету криву можна орієнтувати двома рівними способами. При орієнтації кривої орієнтується і обмежений нею шматок плоскості. Дві прості замкнуті криві на плоскості вважаються орієнтованими однаково, якщо при обході цих кривих по вказаному напряму обмежені ними шматки плоскості залишаються з одного і того ж боку (у обох випадках або справа, або зліва). Наприклад, на мал. 2 і 4 криві орієнтовані однаково, а крива на мал. 3 — протилежно першим двом. Досить вибрати на плоскості О. одній простий замкнутою кривою, щоб тим самим визначилася відповідна О. всіх інших таких кривих, лежачих на тій же плоскості. Плоскість разом з певним вибором О. лежачих на ній простих замкнутих кривих називаються орієнтованою плоскістю. Кожна плоскість може бути орієнтована двома способами. О. плоскості може бути також задана за допомогою вибору системи декартових координат. Якщо на плоскості вибрані осі координат Ох і Оу з певними позитивними напрямами на них, то цьому вибору відповідає О. плоскості, при якій коло з центром на початку координат орієнтоване в напрямі від позитивного напряму осі Ox до позитивного напряму осі Оу . Наприклад, системи координат на мал. 5 і 6 визначають одну і ту ж О. плоскості. Система ж координат на мал. 7 орієнтована протилежним чином.
Координати ( x , в ) і ( х'' , у'' ) в двох прямолінійних системах координат на плоскості зв'язані співвідношеннями
х''= a 11 x + a 12 в + b 1
в’ = a 21 x + a 22 в + b 2 ,
де визначник
відмінний від нуля. Системи координат ( х , в ) і ( х'' , у'' ) орієнтовані однаково, якщо D>0, і протилежно, якщо D<0. Цю обставину можна використовувати для строгої аналітичної теорії О. на плоскості. Легко бачити, що безліч S всіх прямолінійних систем координат розпадається на дві підмножини S’ і S’’ так, що в межах S’ (і в межах S’’ ) всі системи координат зв'язані перетвореннями з D>0, а будь-яка система координат з S’ пов'язана з системою координат з S’’ перетворенням з D<0. Вибрати О. плоскості - це і означає вибрати одне з безлічі S'' або S” . Вибір О. на плоскості визначає знак розташованих на плоскості кутів і площ, обмежених орієнтованими замкнутими кривими. Наприклад, формула
площі s , обмеженою замкнутою кривою з , орієнтованою в напрямі, вказаному стрілкою, в разі правої системи координат ( мал. 5 і 6 ) приведе до позитивної площі для фігур мал. 2 і 4 і до негативної — для фігури на мал. 3 . Навпаки, в лівій системі координат ( мал. 7 ) обчислені за формулою площі s фігури на мал. 3 будуть позитивні, площі ж фігур на мал. 2 і 4 — негативні.
Орієнтація поверхні. Подібно до того, як була вище визначена О. плоскості, може бути визначена О. будь-якої поверхні, що ділить простір на дві частини (наприклад, сфери). Для цього розглядаються шматки поверхні, обмежені простими замкнутими лініями. Орієнтувати такий шматок поверхні — це означає вибрати визначену О. обмежуючої його кривої. Два шматки поверхні називаються орієнтованими однаково, якщо при обході тих, що обмежують ці шматки поверхні кривих у вказаному напрямі самі шматки поверхні залишаються з одного і того ж боку. Наприклад, поверхні на мал. 8 і 9 двох кубів орієнтовані однаково, а поверхня третього ( мал. 10 ) — протилежним чином. Поверхня разом з визначеною О. шматків, обмежених простими замкнутими кривими, і називають орієнтованою поверхнею. Не всяка поверхня може бути орієнтована (див. Орієнтована поверхня ). Проте поверхні, що обмежують частину простору, завжди належать до числу орієнтованих.
Орієнтація простору. Хай замкнута поверхня обмежує певний шматок простору. Говорять, що така поверхня орієнтована правим чином, якщо шматки цієї поверхні, спостережувані зовні, представляються орієнтованими проти годинникової стрілки, подібно до кубів на мал. 8 і 9 . Навпаки, О. замкнутої поверхні, що обмежує шматок простору, вважається лівим, якщо її шматки орієнтовані при спостереженні зовні за годинниковою стрілкою, подібно до куба на рис . 10 . Вибір визначеною О. замкнутих поверхонь без самопересеченій називається О. самого тривимірного простору. Т. о., існують два О. тривимірного простору: права і ліва. О. простору можна встановити також за допомогою вибору системи декартових координат. Якщо вибрані осі координат Ox , Оу і Oz з певними позитивними напрямами на них, то відповідна О. простору визначається наступною умовою: розглядається який-небудь тетраедр ОАВС з вершиною Про на початку і вершинами А , В , З відповідно на позитивних променях осей Ox , Оу і Oz ( мал. 11 , 12 ), трикутник АВС , лежачий на поверхні цього тетраедра, орієнтується в порядку АВС (тобто від осі Ox до осі Оу і потім до осі Oz ); цим визначається О. поверхні тетраедра, а отже, і всього простору. Вибір осей на мал. 11 відповідає правою О. простору, вибір же осей на мал. 12 — лівою О. простору. За вказаним принципом самі системи координат в просторі розділяються на правих і лівих. Від вибору О. простору залежить знак об'ємів обмежених орієнтованими поверхнями, сенс векторного твору двох векторів і т.п.
В науковій і учбовій літературі уживається як ліва, так і права системи просторових координат. Наприклад, у вітчизняних вигадуваннях по математиці поширено вживання лівої системи, у вигадуваннях же по механіці і фізиці — правої системи.
