Багатовимірний простір, простір, що має число вимірів (розмірність ) більше трьох. Звичайне евклідове простір, що вивчається в елементарній геометрії, тривимірно; плоскість — двовимірні, прямі — одновимірні. Виникнення поняття М. п. пов'язане з процесом узагальнення самого предмету геометрії. У основі цього процесу лежить відкриття стосунків і форм, схожих з просторовими, для багаточисельних класів математичних об'єктів (що частенько не мають геометричного характеру). В ході цього процесу поступово викристалізувалася ідея абстрактного математичного простори як системи елементів будь-якої природи, між якими встановлені стосунки, схожі з тими або іншими важливими стосунками між точками звичайного простору. Найбільш загальне вираження ця ідея знайшла в таких поняттях, як топологічний простір і, зокрема, метричний простір .
Простими М. п. є n -мерниє евклідові простори, де n може бути будь-яким натуральним числом. Подібно до того, як положення крапки звичайного евклідова простори визначається завданням три її прямокутних координат, «точка» n -мерного евклідова простори задається n «координатами» x 1 , x 2 ..., x n (які можуть набувати будь-яких дійсних значень); відстань r між двома точками M ( x 1 , x 2 ..., x n ) і М'' ( в 1 , в 2 ..., в n ) визначається формулою
аналогічній формулі відстані між двома крапками звичайного евклідова простори. Із збереженням такої ж аналогії узагальнюються на випадок n -мерного простору і інших геометричних понять. Так, в М. п. розглядаються не лише двовимірна плоскість, але і до -мерниє плоскість ( до < n ), яка, як і в звичайному евклідовом просторі, визначається лінійними рівняннями (або системами таких рівнянь).
Поняття n -мерного евклідова простори має важливі вживання в теорії функцій багатьох змінних, дозволяючи трактувати функцію n змінних як функцію точки цього простору і тим самим застосовувати геометричні вистави і методи до вивчення функцій будь-якого числа змінних (а не лише одного, два або три). Це і було головною стимул-реакцією до оформлення поняття n -мерного евклідова простори.
Важливу роль грають і інші М. п. Так, при викладі фізичного принципу відносності користуються чотиривимірним простором, елементами якого є т.з. «світові крапки». При цьому в понятті «Світової крапки» (на відміну від точки звичайного простору) об'єднується певне положення в просторі з певним положенням в часі (тому «світові крапки» і задаються чотирма координатами замість трьох). Квадратом «відстані» між «світовими крапками» М-коду’ ( х’, в’, z’, t’ ) і М’’ ( х’’, y’’, z’’, t’’ ) (де перші три «координати» — просторові, а четверта — тимчасова) природно рахувати тут вираження
де з — швидкість світла. Отріцательность останнього члена робить цей простір «псевдоєвклідовим».
Взагалі n -мерним простором називається топологічний простір, який в кожній своїй крапці має розмірність n . У найбільш важливих випадках це означає, що кожна крапка володіє околицею, гомеоморфною відкритій кулі n -мерного евклідова простори.
Детальніше про розвиток поняття М. п., геометрія М. п., а також літ.(літературний) див.(дивися) в ст. Геометрія .
