Геометрія (греч. geometria, від ge — Земля і metreo — міряю), розділ математики, що вивчає просторові стосунки і форми, а також інші стосунків і форми, схожі з просторовими по своїй структурі.
Походження терміну «Г.", що буквально означає «землемірство», можна пояснити наступними словами, що приписуються старогрецькому ученому Евдему Родосському (4 ст до н.е.(наша ера)): «Геометрія була відкрита єгиптянами і виникла при вимірі Землі. Цей вимір був їм необхідно унаслідок розлиття р. Нил, що постійно змивав кордони». Вже у древніх греків Р. означала математичну науку, тоді як для науки про вимір Землі був введений термін геодезія . Судячи по уривках староєгипетських вигадувань, що збереглися, Р. розвинулася не лише з вимірів Землі, але також з вимірів об'ємів і поверхонь при земляних і будівельних роботах і т.п.
Первинні поняття Р. виникли в результаті відвернення від всяких властивостей і стосунків тіл, окрім взаємного розташування і величини. Перші виражаються в дотику або приляганні тіл один до одного, в тому, що одне тіло є частина іншого, в розташуванні «між», «усередині» і т.п. Другі виражаються в поняттях «більше», «менше», в понятті про рівність тіл.
Шляхом такого ж відвернення виникає поняття геометричного тіла. Геометричне тіло є абстракція, в якій зберігаються лише форма і розміри в повному відверненні від всіх інших властивостей. При цьому Р., як властиво математиці взагалі, абсолютно відволікається від невизначеності і рухливості реальних форм і розмірів і вважає всі досліджувані нею стосунки і форми абсолютно точними і визначеними. Відвернення від протягу тіл приводить до понять поверхні, лінії і крапки. Це явно виражено, наприклад, у визначеннях, даних Евклідом: «лінія є довжина без ширини», «поверхня є те, що має довжину і ширину». Крапка без жодного протягу є абстракція, що відображає можливість необмеженого зменшення всіх розмірів тіла, уявну межу його безконечного ділення. Далі виникає загальне поняття про геометричну фігуру, під якою розуміють не лише тіло, поверхню, лінію або крапку, але і будь-яку їх сукупність.
Р. в первинному значенні є наука про фігури, взаємне розташування і розміри їх частин, а також про перетворення фігур. Це визначення сповна узгоджується з визначенням Р. як науки про просторові форми і стосунки. Дійсно, фігура, як вона розглядається в Р., і є просторова форма; тому в Р. говорять, наприклад, «куля», а не «тіло кулястої форми»; розташування і розміри визначаються просторовими стосунками; нарешті, перетворення, як його розуміють в Р., також є деяке відношення між двома фігурами — даною і тій, в яку вона перетвориться.
В сучасному, загальнішому сенсі, Р. об'емлет всілякі математичні теорії, приналежність яких к Г. визначається не лише схожістю (хоча деколи і вельми віддаленим) їх предмету із звичайними просторовими формами і стосунками, але також тим, що вони історично склалися і складаються на основі Р. в первинному її значенні і в своїх побудовах виходять з аналізу, узагальнення і видозміни її понять. Р. в цьому загальному сенсі тісно переплітається з іншими розділами математики і її кордону не є точними. Див. розділи Узагальнення предмету геометрії і Сучасна геометрія.
Розвиток геометрії . У розвитку Р. можна вказати чотири основні періоди, переходи між якими позначали якісне зміна Р.
Перший — період зародження Р. як математичної науки — протікав в Давньому Єгипті, Вавілоні і Греції приблизно до 5 ст до н.е.(наша ера) Первинні геометричні відомості з'являються на найраніших рівнях розвитку суспільства. Зачатками науки слід вважати встановлення перших загальних закономірностей, в даному випадку — залежностей між геометричними величинами. Цей момент не може бути датований. Найраніше вигадування що містить зачатки Р., дійшло до нас з Давнього Єгипту і відноситься приблизно до 17 ст до н.е.(наша ера), але і воно, поза сумнівом, не перше. Геометричні відомості того періоду були небагаточисельні і зводилися перш за все до обчислення деяких площ і об'ємів. Вони викладалися у вигляді правил, мабуть, великою мірою емпіричного походження, логічні ж докази були, ймовірно, ще дуже примітивними. Р., за свідченням грецьких істориків, була перенесена в Грецію з Єгипту в 7 ст до н.е.(наша ера) Тут впродовж декількох поколінь вона складалася в струнку систему. Процес цей відбувався шляхом накопичення нових геометричних знань, з'ясування зв'язків між різними геометричними фактами, вироблення прийомів доказів і, нарешті, формування понять про фігуру, про геометричну пропозицію і про доказ.
Цей процес привів, нарешті, до якісного стрибка. Р. перетворилася на самостійну математичну науку: з'явилися систематичні її виклади, де її пропозиції послідовно доводилися. З того часу починається другий період розвитку Г. Ізвестни згадки систематичні виклади Р., серед яких дане в 5 ст до н.е.(наша ера) Гіппократом Хиосським . Збереглися ж і зіграли надалі вирішальну роль що з'явилися близько 300 до н.е.(наша ера) «Початки» Евкліда . Тут Р. представлена так, як її в основному розуміють і тепер, якщо обмежуватися елементарною геометрією ; це наука про прості просторові форми і стосунки, що розвивається в логічній послідовності, виходячи з явно формулірованних основних положень — аксіом і основних просторових вистав. Р. що розвивається на тих же підставах (аксіомах), навіть уточнену і збагачену як в предметі, так і в методах дослідження, називається евклідової геометрією . Ще в Греції до неї додаються нові результати, виникають нові методи визначення площ і об'ємів (Архімед, 3 ст до н.е.(наша ера)), вчення про конічні перетини (Аполонії Пергський, 3 ст до н.е.(наша ера)), приєднуються начатки тригонометрії (Гиппарх, 2 ст до н.е.(наша ера)) і Р. на сфері (Менелай, 1 ст н.е.(наша ера)). Занепад античного суспільства привів до порівняльного застою в розвитку Р., проте вона продовжувала розвиватися в Індії, в Середній Азії, в країнах арабського Сходу.
Відродження наук і мистецтв в Європі спричинило подальший розквіт Г. Прінципіально новий крок був зроблений в 1-ій половині 17 ст Р. Декартом, який ввів в Р. метод координат. Метод координат дозволив пов'язати Р. з тією, що розвивалася тоді алгеброю і аналізом, що зароджується. Вживання методів цих наук в Р. породило аналітичну Р., а потім і диференціальну. Р. перейшла на якісно новий рівень в порівнянні з Р. древніх: у ній розглядаються вже набагато загальніші фігури і використовуються істотно нові методи. З того часу починається третій період розвитку Р. Аналітична геометрія вивчає фігури і перетворення, що задаються рівняннями алгебри в прямокутних координатах, використовуючи при цьому методи алгебри. Диференціальна геометрія, що виникла в 18 ст в результаті робіт Л. Ейлера, Р. Монжа і ін., досліджує вже будь-які досить гладкі криві лінії і поверхні, їх сімейства (тобто їх безперервні сукупності) і перетворення (поняттю «Диференціальна Г.» додається тепер часто загальніший сенс, про що див.(дивися) в розділі Сучасна геометрія). Її назва пов'язана в основному з її методом, витікаючим з диференціального числення. До 1-ої половини 17 ст відноситься зародження проектній геометрії в роботах Же. Дезарга і Б. Паськаля . Вона виникла із завдань зображення тіл на плоскості; її перший предмет складають ті властивості плоских фігур, які зберігаються при проектуванні з однієї плоскості на іншу з будь-якої крапки. Остаточне оформлення і систематичний виклад цих нових напрямів Р. були дани в 18 — початку 19 вв.(століття) Ейлером для аналітичної Р. (1748), Монжем для диференціальної Р. (1795), Же. Понселе для проектної Р. (1822), причому само вчення про геометричне зображення (у прямому зв'язку із завданнями креслення) було ще раніше (1799) розвинене і приведене в систему Монжем у вигляді накреслювальній геометрії . У всіх цих нових дисциплінах основи (аксіоми, вихідні поняття) Р. залишалися незмінними, круг же фігур, що вивчаються, і їх властивостей, а також вживаних методів розширювався.
Четвертий період в розвитку Р. відкривається побудовою Н. І. Лобачевським в 1826 новою, нєєвклідової Р., званою тепер Лобачевського геометрією . Незалежно від Лобачевського в 1832 ту ж Р. побудував Я. Больяй (ті ж ідеї розвивав До. Гаус, але він не опублікував їх). Джерело, суть і значення ідей Лобачевського зводяться до наступного. У геометрії Евкліда є аксіома про паралельних, що стверджує: «через крапку, не лежачу на даній прямій, можна провести не більше ніж одну пряму, паралельну даною». Багато геометрів намагалися довести цю аксіому, виходячи з інших основних посилок геометрії Евкліда, але безуспішно. Лобачевський прийшов до думки, що таке доказ неможливий. Твердження, протилежне до аксіоми Евкліда, свідчить: «через крапку, не лежачу на даній прямій, можна провести не одну, а принаймні дві паралельні їй прямі». Це і є аксіома Лобачевського. По думці Лобачевського, приєднання цього положення до інших основних положень Р. приводить до логічно бездоганних виводів. Система цих виводів і утворює нову, неевклідовому Г. Заслуга Лобачевського полягає в тому, що він не лише висловив цю ідею, але дійсно побудував і всесторонньо розвинув нову Р., логічно настільки ж здійснену і багату виводами, як евклідова, не дивлячись на її невідповідність звичайним наочним виставам. Лобачевський розглядав свою Р. як можливу теорію просторових стосунків; проте вона залишалася гіпотетичною, поки не був з'ясований (у 1868) її реальний сенс і тим самим було дано її повне обгрунтування (див. розділ Тлумачення геометрії).
Переворот в Р., вироблений Лобачевським, за своїм значенням не поступається жодному з переворотів в природознавстві, і недаремно Лобачевський був названий «Коперником геометрії». У його ідеях були намічені три принципи, що визначили новий розвиток Г. Первий принцип полягає в тому, що логічно мисліма не одна евклідова Р., але і інша «геометрія». Другий принцип — це принцип самої побудови нових геометричних теорій шляхом видозміни і узагальнення основних положень евклідової Г. Третій принцип полягає в тому, що істинність геометричної теорії, в сенсі відповідності реальним властивостям простору, може бути перевірена лише фізичним дослідженням і не виключено, що такі дослідження встановлять, в цьому сенсі, неточність евклідової Г. Современная фізика підтвердила це. Проте від цього не втрачається математична точність евклідової Р., т.к. она визначається логічною спроможністю (несуперечністю) цієї Г. Точно так само відносно будь-якої геометричній теорії потрібно розрізняти їх фізичну і математичну істинність; перша полягає у відповідності дійсності, що перевіряється досвідом, друга — в логічній несуперечності. Лобачевський дав, т. о., матеріалістичну установку філософії математики. Перераховані загальні принципи зіграли важливу роль не лише в Р., але і в математиці взагалі, в розвитку її аксіоматичного методу, в розумінні її відношення до дійсності.
Головна особливість нового періоду в історії Р., початого Лобачевським, полягає в розвитку нових геометричних теорій — нової «геометрії» і у відповідному узагальненні предмету Г.; виникає поняття про різного роду «просторах» (термін «простір» має в науці два сенси: з одного боку, це звичайний реальний простір, з іншої — абстрактний «математичний простір»). При цьому одні теорії складалися усередині евклідової Р. у вигляді її особливих глав і лише потім отримували самостійне значення. Так складалися проектна, аффінная, конформна Р. і ін., предметом яких служать властивості фігур, що зберігаються при відповідних (проектних, аффінних, конформних і ін.) перетвореннях. Виникло поняття проектного, аффінного і конформного просторів; сама евклідова Р. стала розглядатися у відомому сенсі як глава проектною Р. Ін.(Древн) теорії, подібно до геометрії Лобачевського, із самого початку будувалися на основі зміни і узагальнення понять евклідової Р. Так, створювалася, наприклад, багатовимірна Г.; перші роботи (Р. Грасман і А. Келі, 1844), що відносяться до неї, представляли формальне узагальнення звичайною аналітичною Р. з трьох координат на n . Деякий підсумок розвитку всієї цієї нової «геометрії» підвів в 1872 Ф. Клейн, вказавши загальний принцип їх побудови.
Принциповий крок був зроблений Би. Ріманом (лекція 1854, опублікована 1867). По-перше, він ясно формулював узагальнене поняття простору як безперервній сукупності будь-яких однорідних об'єктів або явищ (див. розділ Узагальнення предмету геометрії). По-друге, він ввів поняття простору з будь-яким законом виміру відстаней нескінченно малими кроками (подібно до виміру довжини лінії дуже малим масштабом). Звідси розвинулася обширна область Р., т.з. ріманова геометрія і її узагальнення, що знайшла важливі застосування в теорії відносності, в механіці і ін.
В той же період зародилася топологія як вчення про ті властивості фігур, які залежать лише від взаємного дотику їх частин і які тим самим зберігаються при будь-яких перетвореннях, нових дотиків, що не порушують і не вводять, тобто що відбуваються без розривів і склеювань. У 20 ст топологія розвинулася в самостійну дисципліну.
Так Р. перетворилася на розгалужену сукупність математичних теорій, що вивчають різні простори, що швидко розвивається у різних напрямах (евклідове, Лобачевського, проектне ріманови і т.д.) і фігури в цих просторах.
Одночасно з розвитком нових геометричних теорій велася розробка областей, що вже склалися, евклідової Р. — елементарною, аналітичною і диференціальною Г. Вместе з тим в евклідової Р. з'явилися нові напрями. Предмет Р. розширився і в тому сенсі, що розширився круг досліджуваних фігур, круг їх властивостей, що вивчаються, розширилося само поняття про фігуру. На стику аналізу і Г. виникла в 70-х рр. 19 ст загальна теорія точкової безлічі, яка, проте, вже не зараховується до Р., а складає особливу дисципліну (див. Безлічі теорія ). Фігура стала визначатися в Р. як безліч крапок. Розвиток Р. був тісно пов'язаний з глибоким аналізом тих властивостей простори, які лежать в основі евклідової Г. Інимі словами, воно було пов'язане з уточненням підстав самій евклідової Г. Ета робота привела в кінці 19 ст (Д. Гільберт і ін.) до точного формулювання аксіом евклідової Р., а також іншої «геометрії».
Узагальнення предмету геометрії. Можливість узагальнення і видозміни геометричних понять найлегше з'ясувати на прикладі. Так, на поверхні кулі можна сполучати крапки найкоротшими лініями — дугами великих кругів, можна вимірювати кути і площі, будувати раз особисті фігури. Їх вивчення складає предмет Р. на сфері, подібно до того, як планіметрія є Р. на плоскості; Р. на земній поверхні близька к Г. на сфері. Закони Р. на сфері відмінні від законів планіметрії; так, наприклад, довжина кола тут не пропорційна радіусу, а зростає повільніше і досягає максимуму для екватора; сума кутів трикутника на сфері непостійна і завжди більше двох прямих. Аналогічно можна на будь-якій поверхні проводити лінії, вимірювати їх довжини, кути між ними, визначати обмежені ними площі. Що розвивається так Р. на поверхні називається її внутрішньою Р. (До. Гаус, 1827). На нерівномірно зігнутій поверхні співвідношення довжин і кутів будуть різними в різних місцях, отже, вона буде геометрично неоднорідною, на відміну від плоскості і сфери. Можливість здобуття різних геометричних співвідношень наводить на думку, що властивості реального простору можуть лише приблизно описуватися звичайною Р. Ця ідея, вперше висловлена Лобачевським, знайшла підтвердження в загальній теорії відносності.
ширша можливість узагальнення понять Р. з'ясовується з наступного міркування. Звичайний реальний простір розуміють в Р. як безперервну сукупність крапок, тобто всіх можливих гранично точно певних місць розташування гранично малого тіла. Аналогічно безперервну сукупність можливих станів якої-небудь матеріальної системи, безперервну сукупність яких-небудь однорідних явищ можна трактувати як свого роду «простір». Ось один з прикладів. Досвід показує, що нормальний людський зір трибарвно, тобто всяке колірне відчуття Ц є комбінація — сума трьох основних відчуттів: червоного До , зеленого З і синього З , з певними інтенсивностями. Позначаючи ці інтенсивності в деяких одиницях через х, в, z, можна написати Ц = xk + уЗ + zc . Подібно до того, як крапку можна рухати в просторі вгору і вниз, управо і вліво, вперед і назад, так і відчуття кольору Ц може безперервно мінятися в трьох напрямах із зміною складових його частин — червоного, зеленого і синього. Аналогічно можна сказати, що сукупність всіх кольорів є тривимірний простір — «простір кольорів». Безперервну зміну кольору можна змальовувати як лінію в цьому просторі. Далі, якщо дані два кольори, наприклад червоний До і білий Би , то, змішуючи їх в різних пропорціях, отримують безперервну послідовність кольорів, яку можна назвати прямолінійним відрізком КБ . Уявлення про те, що рожевий колір Р лежить між червоним і білим і що густіший рожевий лежить ближче до червоного, не вимагає роз'яснення. Т. о., виникають поняття про прості «просторові» форми (лінія, відрізок) і стосунки (між, ближче) в просторі кольорів. Далі, можна ввести точне визначення відстані (наприклад, по числу порогів розрізнення, яке можна прокласти між двома кольорами), визначити поверхні і області кольорів, подібно до звичайних поверхонь і геометричних тіл, і т.д. Так виникає вчення про простір кольорів, який шляхом узагальнення геометричних понять відображає реальні властивості кольорового зору людини (див. Колориметрія ).
Інший приклад. Стан газу, що знаходиться в циліндрі під поршнем, визначається тиском і температурою. Сукупність всіх можливих станів газу можна представляти тому як двовимірний простір. «Точками» цього «простору» служать стани газу; «крапки» розрізняються двома «координатами» — тиском і температурою, подібно до того як крапки на плоскості розрізняються значеннями їх координат. Безперервна зміна стану зображається лінією в цьому просторі.
Далі, можна уявити собі будь-яку матеріальну систему — механічну або физико-хімічну. Сукупність всіх можливих станів цієї системи називають «фазовим простором». «Точками» цього простору є самі стани. Якщо стан системи визначається n величинами, то говорять, що система має n мір свободи. Ці величини грають роль координат крапки-стану, як в прикладі з газом роль координат грали тиск і температура. Відповідно до цього такий фазовий простір системи називають n -мерним. Зміна стану зображається лінією в цьому просторі; окремих області станів, що виділяються по тих або інших ознаках, будуть областями фазового простору, а кордони областей будуть поверхнями в цьому просторі. Якщо система має лише дві міри свободи, то її стани можна змальовувати крапками на плоскості. Так, стан газу з тиском р і температурою Т зобразиться крапкою з координатами р і Т, а процеси, що відбуваються з газом, зобразяться лініями на плоскості. Цей метод графічного зображення загальновідомий і постійно використовується у фізиці і техніці для наочного представлення процесів і їх закономірностей. Але якщо число мір свободи більше 3, то просте графічне зображення (навіть у просторі) стає неможливим. Тоді, щоб зберегти корисні геометричні аналогії, удаються до уявлення про абстрактний фазовий простір. Так, наочні графічні методи переростають в цю абстрактну виставу. Метод фазових просторів широко застосовується в механіці, теоретичній фізиці і фізичній хімії. У механіці рух механічної системи змальовують рухом крапки в її фазовому просторі. У фізичній хімії особливо поважно розглядати форму і взаємне прилягання тих областей фазового простори системи з декількох речовин, які відповідають якісно різним станам. Поверхні, що розділяють ці області, суть поверхні переходів від однієї якості до іншого (плавлення, кристалізація і т.п.). У самій Р. також розглядають абстрактні простори, «точками» яких служать фігури; так визначають «простори» кругів, сфер, прямих і т.п. У механіці і теорії відносності вводять також абстрактний чотиривимірний простір приєднуючи до трьох просторових координат час як четверту координату. Це означає, що події потрібно розрізняти не лише по положенню в просторі, але і в часі.
Т. о., стає зрозумілим, як безперервні сукупності тих або інших об'єктів, явищ, станів можуть підводитися під узагальнене поняття простору. У такому просторі можна проводити «лінії», що змальовують безперервні послідовності явищ (станів) проводити «поверхні» і визначати відповідним чином «відстані» між «крапками», даючи тим самим кількісне вираження фізична поняття про міру відмінності відповідних явищ (станів), і т.п. Так по аналогії із звичайною Р. виникає «геометрія» абстрактного простору; останнє може навіть мало бути схожим на звичайний простір, будучи, наприклад, неоднорідним по своїх геометричних властивостях і кінцевим, подібно нерівномірно викривленою замкнутою поверхні.
Предметом Р. в узагальненому сенсі виявляються не лише просторові форми і стосунки, але будь-які форми і стосунки, які, будучи узяті у відверненні від свого вмісту, виявляються схожими із звичайними просторовими формами і стосунками. Ці просторово-подібні форми дійсності називають «просторами» і «фігурами». Простір в цьому сенсі є безперервна сукупність однорідних об'єктів, явищ станів, які грають роль точок простору, причому в цій сукупності є стосунки, схожі із звичайними просторовими стосунками, як, наприклад, відстань між крапками, рівність фігур і т.п. (фігура — взагалі частина простору). Р. розглядає ці форми дійсності у відверненні від конкретного вмісту, вивчення ж конкретних форм і стосунків у зв'язку з їх якісно своєрідним вмістом складає предмет інших наук, а Р. служить для них методом. Прикладом може служити будь-який додаток абстрактної Р., хоч би вказане вище вживання n -мерного простору у фізичній хімії. Для Р. характерний такий підхід до об'єкту, який полягає в узагальненні і перенесенні на нові об'єкти звичайних геометричних понять і наочних вистав. Саме це і робиться в наведених вище прикладах простору кольорів і ін. Цей геометричний підхід зовсім не є чистою умовністю, а відповідає самій природі явищ. Але часто одні і ті ж реальні факти можна змальовувати аналітично або геометрично, як одну і ту ж залежність можна задавати рівнянням або лінією на графіці.
Не слідує, проте, представляти розвиток Р. так, що вона лише реєструє і описує на геометричній мові форми, що вже зустрілися на практиці, і стосунки, подібні просторовим. Насправді Р. визначає широкі класи нових просторів і фігур в них виходячи з аналізу і узагальнення даних наочною Р. і геометричних теорій, що вже склалися. При абстрактному визначенні ці простори і фігури виступають як можливі форми дійсності. Вони, отже, не є чисто умоглядними конструкціями, а повинні служити, кінець кінцем, засобом дослідження і опису реальних фактів. Лобачевський, створюючи свою Р., вважав її можливою теорією просторових стосунків. І так же як його Р. отримала обгрунтування в сенсі її логічної спроможності і застосовності до явищ природи, так і всяка абстрактна геометрична теорія проходіт таку ж подвійну перевірку. Для перевірки логічної спроможності істотне значення має метод побудови математичних моделей нових просторів. Проте остаточно укоріняються в науці лише ті абстрактні поняття, які виправдані і побудовою штучної моделі, і вживаннями, якщо не прямо в природознавстві і техніці, то хоч би в ін. математичних теоріях, через які ці поняття так чи інакше зв'язуються з дійсністю. Легкість, з якої математики і фізики оперують тепер різними «просторами», досягнута в результаті довгого розвитку Р. в тісному зв'язку з розвитком математики в цілому і інших точних наук. Саме унаслідок цього розвитку склалася і придбала велике значення друга сторона Р., вказана в загальному визначенні, даному на початку статті: включення в Р. дослідження форм і стосунків, схожих з формами і стосунками в звичайному просторі.
Як приклад абстрактній геометричній теорії можна розглянути Р. n -мерного евклідова простори. Вона будується шляхом простого узагальнення основних положень звичайної Р., причому для цього є декілька можливостей: можна, наприклад, узагальнювати аксіоми звичайної Р., але можна виходити і із завдання крапок координатами. При другому підході n -мерноє простір визначають як безліч яких-небудь елементів-крапок, що задаються (кожна) n числами x 1 , x 2 ,¼, xn , розташованими в певному порядку, — координатами крапок. Далі, відстань між точками Х = (x 1 , x 2 ,¼, xn) і X''= (x’ 1 , x’ 2 ,¼, х’ n ) визначається формулою:
що є прямим узагальненням відомої формули для відстані в тривимірному просторі. Рух визначають як перетворення фігури, яке не змінює відстаней між її крапками. Тоді предмет n -мерной Р. визначається як дослідження тих властивостей фігур, які не міняються при рухах. На цій основі легко вводяться поняття про пряму, про плоскість різного числа вимірів від двох до n —1, про кулю і т.д. Т. о. складається багата вмістом теорія, багато в чому аналогічна звичайною евклідової Р., але багато в чому і відмінна від неї. Незрідка буває, що результати, отримані для тривимірного простору, легко переносяться з відповідними змінами на простір будь-якого числа вимірів. Наприклад, теорема про те, що серед всіх тіл однакового об'єму найменшу площу поверхні має кулю, читається дослівно так само в просторі будь-якого числа вимірів [потрібно лише мати на увазі n -мерний об'єм, ( n —1) -мерную площу і n -мерний кулю, які визначаються сповна аналогічно відповідним поняттям звичайної Р.]. Далі, в n -мерном просторі об'єм призми дорівнює твору площі підстави на висоту, а об'єм піраміди — такому твору, що ділиться на n . Такі приклади можна продовжити. З ін. сторони, в багатовимірних просторах виявляються також якісно нові факти.
Тлумачення геометрії . Одна і та ж геометрична теорія допускає різні застосування, різні тлумачення (здійснення, моделі, або інтерпретації). Всякий додаток теорії і є не що інше, як здійснення деяких її виводів у відповідної області явищ.
Можливість різних здійснень є загальною властивістю всякої математичної теорії. Так, арифметичні співвідношення реалізуються на самих різних наборах предметів; одне і те ж рівняння описує часто зовсім різні явища. Математика розглядає лише форму явища, відволікаючись від вмісту, а з точки зору форми багато якісно різних явищ виявляються часто схожими. Різноманітність додатків математики і, зокрема, Р. забезпечується саме її абстрактним характером. Вважають, що деяка система об'єктів (область явищ) дає здійснення теорії, якщо стосунки в цій області об'єктів можуть бути описані на мові теорії так, що кожне затвердження теорії виражає той або інший факт, що має місце в даної області. Зокрема, якщо теорія будується на основі деякої системи аксіом, то тлумачення цієї теорії полягає в такому зіставленні її понять з деякими об'єктами і їх стосунками, при якому аксіоми виявляються виконаними для цих об'єктів.
Евклід Р. виникла як віддзеркалення фактів дійсності. Її звичайна інтерпретація, в якій прямими вважаються натягнуті нитки, рухом — механічне переміщення і т.д., передує Р. як математичній теорії. Питання про інші інтерпретації не ставилося і не могло бути поставлений, поки не виявилося абстрактніше розуміння геометрії. Лобачевський створив неевклідовому Р. як можливу геометрію, і тоді виникло питання про її реальне тлумачення. Це завдання було вирішене в 1868 Е. Бельтрамі, який відмітив, що геометрія Лобачевського збігається з внутрішньою Р. поверхонь постійної негативної кривизни, тобто теореми геометрії Лобачевського описують геометричні факти на таких поверхнях (при цьому роль прямих виконують геодезичні лінії, а роль рухів — вигинання поверхні на себе). Оскільки в той же час така поверхня є об'єкт евклідової Р., виявилось, що геометрія Лобачевського тлумачиться в поняттях геометрії Евкліда. Тим самим була доведена несуперечність геометрії Лобачевського, т.к. протіворечие в ній через вказане тлумачення вабило б протиріччя в геометрії Евкліда.
Т. о., з'ясовується двояке значення тлумачення геометричної теорії — фізичне і математичне. Якщо йдеться про тлумаченні на конкретних об'єктах, то виходить дослідний доказ істинності теорії (звичайно, з відповідною точністю); якщо ж самі об'єкти мають абстрактний характер (як геометрична поверхня в рамках геометрії Евкліда), то теорія зв'язується з іншою математичною теорією, в даному випадку з евклідової Р., а через неї з підсумовуваними в ній дослідними даними. Таке тлумачення однієї математичної теорії за допомогою іншої стало математичним методом обгрунтування нових теорій, прийомом доказу їх несуперечності, оскільки протиріччя в новій теорії породжувало б протиріччя в тій теорії, в якій вона інтерпретується. Але теорія, за допомогою якої виробляється тлумачення, у свою чергу, потребує обгрунтування. Тому вказаний математичний метод не знімає того, що остаточним критерієм істини для математичних теорій залишається практика. В даний час геометричні теорії найчастіше тлумачать аналітично; наприклад, крапки на плоскості Лобачевського можна пов'язувати з парами чисел х і в , прямі — визначати рівняннями і т.п. Цей прийом дає обгрунтування теорії тому, що сам математичний аналіз обгрунтований, кінець кінцем, величезною практикою його вживання.
Сучасна геометрія . Прийняте в сучасній математиці формально-математичне визначення понять простору і фігури виходить з поняття безлічі (див. Безлічі теорія ). Простір визначається як безліч яких-небудь елементів («крапок») при умові, що в цій безлічі встановлені деякі стосунки, схожі із звичайними просторовими стосунками. Безліч кольорів, безліч станів фізичної системи, безліч безперервних функцій, заданих на відрізку [0, 1], і т.п. утворюють простори, де крапками будуть кольори, стани, функції. Точніше, ця безліч розуміється як простори, якщо в них фіксуються лише відповідні стосунки, наприклад відстань між крапками, і ті властивості і стосунки, які через них визначаються. Так, відстань між функціями можна визначити як максимум абсолютної величини їх різниці: max| f ( x ) —g ( x ) | . Фігура визначається як довільна безліч крапок в даному просторі. (Інколи простір — це система з безлічі елементів. Наприклад, в проектній Р. прийнято розглядати крапки, прямі і плоскість як рівноправні вихідні геометричні об'єкти, зв'язані стосунками «з'єднання».)
Основні типи стосунків, які в різних комбінаціях приводять до всієї різноманітності «просторів» сучасної Р., наступні:
1) Загальними стосунками, наявними у всякій безлічі, є стосунки приналежності і включення: крапка належить безлічі, і одна безліч є частина іншого. Якщо взяті до уваги лише ці стосунки, то в безлічі не визначається ще жодної «геометрії», воно не стає простором. Проте, якщо виділені деякі спеціальні фігури (безліч крапок), то «геометрія» простору може визначатися законами зв'язку крапок з цими фігурами. Таку роль грають аксіоми поєднання в елементарній, аффінной, проектною Г.; тут спеціальною безліччю служать прямі і плоськ
