Ріманова геометрія, багатовимірне узагальнення геометрії на поверхні, що є теорією ріманових просторів, тобто таких просторів, де в малих областях приблизно має місце евклідова геометрія (з точністю до малих вищого порядку порівняно до розмірів області). Р. р. отримав свою назву по імені Б. Рімана, який заклав її основи в 1854.
Поняття про ріманової геометрію. Гладка поверхня в евклідовом просторі, що розглядається з точки зору вимірів, вироблюваних на ній, виявляється двовимірним простором, геометрія якого (так звана внутрішня геометрія ) , будучи приблизно евклідової в малому (у околиці будь-якої крапки вона збігається з точністю до малих вищого порядку з геометрією дотичної плоскості), точно немає евклідової; до того ж, як правило, поверхня неоднорідна по своїх геометричних властивостях. Тому внутрішня геометрія поверхні і є не що інше, як Р. р. двох вимірів, а сама поверхня є двовимірний ріманово простір.
Так, при вимірах на ділянках земної поверхні, малих порівняно з розмірами земної кулі, можна з успіхом застосовувати звичайну планіметрію, проте результати вимірів на великих ділянках виявляють істотне відхилення від законів планіметрії. Перенесення цих понять на багатовимірні простори приводить до загального Р. р. У основі Р. р. лежать три ідеї. Перша ідея — визнання того, що взагалі можлива геометрія, відмінна від евклідової, — була вперше розвинена Н. І. Лобачевським, друга — це що йде від До. Ф. Гауса поняття внутрішньої геометрії поверхонь і її аналітичний апарат у вигляді квадратичної форми, що визначає лінійний елемент поверхні; третя ідея — поняття про n -мерном просторі, висунуте і розроблене в 1-ій половині 19 ст рядом геометрів. Ріман, з'єднавши і узагальнивши ці ідеї (у лекції «Про гіпотези, лежачі в підставі геометрії», прочитаної в 1854 і опублікованої в 1867), ввів загальне поняття про простір як безперервну сукупність будь-якого роду однотипних об'єктів, які служать точками цього простору (див. Геометрія, розділ Узагальнення предмету геометрії, Простір в математиці), і переніс на ці простори уявлення про вимір довжин малими кроками.
Після публікації робіт Рімана його ідеї привернули увагу ряду математиків, які розвивали далі аналітичний апарат Р. р. і встановлювали в ній нові теореми геометричного вмісту. Важливим кроком було створення італійськими геометрами Г. Річчи-Курбастро і Т. Льові-чивіта на рубежі 20 ст так званого тензорного числення, яке виявилося найбільш відповідним аналітичним апаратом для розробки Р. р. Вирішальне значення мало вживання Р. р. в створенні А. Ейнштейном загальної теорії відносності, яке було тріумфом не лише абстрактної геометрії, але і ідей про зв'язок геометрії і фізики, висунутих Лобачевським і Ріманом. Це привело до бурхливого розвитку Р. р. і її всіляких узагальнень. В даний час Р. р. разом з її узагальненнями є обширною областю геометрії, яка продовжує успішно розвиватися причому особлива увага приділяється питанням глобального характеру.
Визначення ріманова простору. До строгого визначення ріманова простору можна підійти таким чином. Положення точки n -мерного різноманіття визначається n координатами x 1 , x 2 ..., x n . У евклідовом n -мерном просторі відстань між будь-якими двома точками X , Y в належно вибраних координатах виражається формулою
де D x i — різниці координат точок X, Y. Відповідно в рімановом просторі в околиці кожної точки А можуть бути введені координати x 1 ..., x n так, що відстань між точками X, Y , близькими до А, виражаються формулою
де e таке, що, коли X, Y наближаються до А. Звідси слідує, що в довільних координатах відстань між близькими крапками ( x i ) і ( x i + dx i ) , або, що те ж саме, диференціал довжини дуги кривої, задається вираженням
(тут коефіцієнти суть функції координат), яке називається лінійним елементом ріманова простору. Т. о., ріманово простір R можна аналітично визначити як n -мерноє різноманіття, в якому в кожній крапці задана диференціальна квадратична форма
(вона називається також метричною формою, або просто метрикою, R і є по своєму визначенню позитивно визначеною). Можливість перетворення координат обумовлює те, що один і той же ріманово простір в різних координатах має різні вирази метричної форми, проте її величина (унаслідок свого геометричного сенсу як квадрата елементу довжини дуги) при перетворенні координат від x i до повинна залишатися незмінною:
Це приводить до певного закону перетворення коефіцієнтів g ij як компонент двічі коваріантного тензора (див. Тензорне числення ) ; він називається метричним тензором ріманова простору.
Кожній точці А ріманова простори R зіставляється так зване дотичне евклідове простір E A в яке відображується деяка околиця U точки А так, що відносне спотворення відстаней прагне до нуля при наближенні до точки А. Аналітично це зводиться до введення поблизу деякої точки A 0 простору E A таких координат, що в них квадрат лінійного елементу евклідова простори E A виражається в точці A 0 такою ж формою який виражається квадрат лінійного елементу ріманова простору ds 2 в точці А. Т. о., в зневазі малими вище за перший порядок околиця крапки в рімановом просторі можна замінювати околицею точки дотичного простору.
Прості поняття ріманової геометрії. 1) Довжина дуги s кривої ( i = 1 ., n ) в рімановом просторі R визначається як інтеграл
уздовж цієї кривої (що відповідає як би виміру довжин «малим масштабом», як відзначив ще Ріман). Якщо будь-які дві точки простору R соєдініми кривої, то R стає метричним простором : відстань r( Х, Y ) між двома крапками визначається як точна нижня грань довжин кривих, що сполучають ці крапки, і називається внутрішньою метрикою ріманова простору R.
2) Кут між двома витікаючими з однієї точки А кривими визначається як кут між дотичними векторами до кривих в точці А.
3) Об'єм V n -мерной області G ріманова простору визначається по формулі:
де .
Геодезичні. Лінії, які в досить малих областях є найкоротшими зі всіх кривих з тими ж кінцями, називаються геодезичними, вони грають роль прямих в рімановом просторі R. За визначенням, вони є екстремалями функціонала
де Г i jk — так звані Крістоффеля символи, що виражаються через компоненти метричного тензора g ij і їх перші похідні. Через кожну точку ріманова простору в будь-якому напрямі проходіт геодезична; будь-які дві точки А, В досить малої області можна з'єднати найкоротшою [довжина її дорівнюватиме внутрішній відстані r( А, В ) між цими крапками], і притому єдиною, проте єдиність може порушуватися, якщо крапки досить віддалені один від одного (наприклад, полюси сфери соєдініми безконечним безліччю дуг великих кругів, що є найкоротшими).
Представляє інтерес (для опису періодичних рухів в механічному завданні багатьох тіл, наприклад) оцінка числа n замкнутих геодезичних простори R ; це завдання (поставлена Ж. А. Пумнкаре в 1905 у зв'язку з деякими питаннями небесної механіки), не дивлячись на зусилля багатьох математиків, ще далеке від завершення, найкращий результат: n ³ 2, якщо R односвязно.
Дотичний простір. Між рімановим простором R і дотичним до нього евклідовим простором в околиці U деякої точки А можна встановити таку відповідність, при якій обидва простори збігатимуться з точністю до малих вище другого порядку. Для цього проводять з точки А геодезичні на всіх напрямках і кожній з них в дотичному просторі зіставляють промінь відповідного напряму, а потім встановлюють таку відповідність цих променів і геодезичних, при якому довжини дуг геодезичних b відповідних ним променів рівні. У досить малій околиці така відповідність буде взаємно однозначною; якщо ввести в дотичному просторі декартові координати x 1 ..., x n і приписати їх значення відповідним точкам околиці U, те між лінійними елементами ds ріманова і ds про евклідова просторів буде такий зв'язок:
+, де при
i = 1 ., n .
звідки слідує, що різниця ds — ds про має порядок не нижче, ніж
.
Евклід простір, поставлений в таку відповідність з рімановим, і називається дотичним (на відміну від звичайного дотичного простору). Добитися вищого порядку збігу за рахунок спеціального вибору відповідності між рімановим і евклідовим просторами в загальному випадку вже неможливо. Тому коефіцієнти R mlk i характеризують відмінність ріманова простору від евклідова; вони є компонентамі так званого тензора кривизни (або тензора Рімана — Крістоффеля), визначуваного по формулі
лише через g ik , і їх похідні до другого порядку.
Тотожне перетворення на нуль тензора кривизни необхідне і досить для того, щоб простір в околиці кожної крапки збігався з евклідовим (в цілому воно може відрізнятися від нього своєю будовою, подібно до того як бічна поверхня циліндра відрізняється від плоскості).
Паралельне перенесення. Для всякої гладкої кривої L ріманова простору існує відображення її околиці U L в евклідовий простір E L при якому воно виявляється дотичним в усіх точках кривий L. Образ кривої L в просторі E L називається розгорткою L'' цієї кривої на евклідовий простір (для поверхні F в евклідовом просторі дотичне евклідове простір уподовж кривий L можна інтерпретувати як розгорнуту на плоскість що огинає сімейства плоскості, дотичних до F уподовж L ) . Вектор (і будь-який тензор) паралельно переноситься уподовж кривою L, якщо паралельно переноситься відповідний вектор (тензор) в евклідовом просторі E L , дотичному з рімановим уздовж цієї кривої. Аналітично паралельне перенесення вектора a i уподовж кривий x i = x i ( t ) визначається диференціальним рівнянням
.
Якщо, то виходить рівняння геодезичних; т. о., геодезичні можна визначити як криві, уздовж яких дотичний до них вектор переноситься паралельно, тобто розгортка геодезичною — пряма, що заглиблює їх схожість з прямими. Результат паралельного перенесення вектора з точки А в точку В залежить, як правило, від кривої AB, уздовж якої відбувається перенесення, — в цій відсутності «абсолютного паралелізму» наочно виявляється відмінність ріманова простору від евклідова.
Геодезична кривизна (перша кривизна) кривої L в точці М-код оцінює її відхилення від геодезичної L 0 , що стосується L в точці М-коду, і визначається таким чином. Хай дотичний вектор до L в точці М-коду паралельно перенесений в точку M'' і утворює там кут j з дотичною до L в точці М-коду, хай s — довжина дуги MM'' кривої L. При прагненні M'' до М-коду існує межа
,
який і називається геодезичною кривизною кривої L в точці М. Аналітично геодезична кривизна кривої x I = x i ( s ), довжиною дуги, що параметризується, визначається формулами:
,
де
;
таким образом, геодезична кривизна кривої L збігається з (першою) кривизною її розгортки L, а геодезичні лінії в усіх точках мають нульову геодезичну кривизну.
Для кривої L в рімановом просторі R визначаються також друга і т.д. кривизни і мають місце співвідношення, аналогічні звичайним формулам Френе (див. Диференціальна геометрія) для кривих евклідова простори.
Ріманова кривизна. Хай М-код — точка ріманова простору, F — двовимірна поверхня x i = x i ( u, u) , що проходить через М-код, L — простий замкнутий контур на F, що проходить через М-код, s — площа ділянки поверхні, обмеженої контуром L. Хай довільний вектор a i , дотичний до поверхні F (тобто що лінійно виражається через вектори ) , перенесений паралельно по L.
що Тоді становить перенесеного вектора, дотична до F, виявиться поверненою по відношенню до a i на кут j (позитивний напрям відліку кутів повинен збігатися з напрямом обходу L ). При стяганні L у точку М-коду існує межа
,
називається кривизною ріманова простору (ріманової кривизною) в даній крапці у напрямі двовимірної поверхні; До залежить не від поверхні, а лише від її напряму в точці М-коду, тобто від напряму двовимірній плоскості дотичного евклідова простори, що містить вектори .
Ріманова кривизна До пов'язана з тензором кривизни формулою:
,
де
,
причому параметри u, u вибрані так, що площа паралелограма, побудованого на векторах, рівна 1.
В двовимірному випадку До збігається з повною кривизною (Theorema egregium До. Ф. Гауса, 1827), при цьому для області G обмеженою простий замкнутою кривою Г, що має геодезичну кривизну до, справедлива так звана формула Гаусу-бонні:
,
зокрема, для трикутника, утвореного відрізками геодезичних
,
де А, В, З — величини кутів трикутника. Для замкнутого (тобто без кордону) двовимірного ріманова простору R його ейлерова характерістіка з( R ) пропорційна інтегралу ріманової кривизни:
.
Ця формула узагальнена на випадок парно-мірного замкнутого ріманова простору, в якому інтегрується деяка функція компонент тензора кривизни.
Якщо в кожній точці ріманова простору кривизна не залежить від напряму двовимірній поверхні, то вона не міняється і від крапки до крапки, тобто простір має постійну кривизну. Представляють інтерес також (зокрема, для опису механічних систем з циклічними координатами) ріманови простори із спеціальною структурою тензора кривизни; вони суть узагальнення просторів постійної кривизни і мають досить обширну групу рухів. Такі, наприклад, симетричні простори, що характеризуються тим, що їх тензор кривизни не міняється при паралельному перенесенні субпроективні простори, що характеризуються спеціальною координатною системою, в якій геодезичні описуються лінійними рівняннями, і ін.
Ріманова кривизна грає важливу роль в геометричних додатках Р. р., тим паче, що на всякому різноманітті можна ввести деяку ріманову метрику. Так, наприклад, топологічна будова повних ріманових просторів (тобто просторів, в яких всяка геодезична нескінченно продолжаєма) залежить від властивостей його кривизни: всяке повне одинзв'язне n -мерноє ріманово простір гомеоморфний n -мерному евклідову простору, якщо його кривизна в усіх точках і по всіх напрямах непозитивна і гомеоморфна n -мерной сфері одиничного радіусу, якщо його кривизна До задовольняє нерівностям, де d — деяка постійна. Від величини кривизни повного ріманова простору R залежить і його діаметр d — точна верхня грань відстаней між точками R, визначуваних внутрішньою метрикою R: наприклад, якщо До ³ K o > 0, те d, якщо ж , те R — сфера радіусу .
Метрична зв'язність. Паралельне перенесення уподовж кривий L з кінцями А, В задає ізометрічноє (тобто що зберігає відстані) перетворення t i дотичного простору E A в точці А в дотичний простір E B в точці А. Диференціал перетворення t i в точці А, т . е. головна лінійна частина зміни t i ; при переході з А ( xi ) в близьку точку ( x i + dx i ) , визначає деякий геометричний об'єкт, називається ріманової зв'язністю, що асоціюється з даним паралельним перенесенням. Аналітично ця зв'язність виражається системою лінійних диференціальних форм
, i , j ., n .
Проте в рімановом просторі R можна визначити і іншу зв'язність, такі, що асоційовані з ними паралельні перенесення також зберігають метричний тензор; вони називаються метричною зв'язністю і визначаються аналогічними коефіцієнтами, але вже не симетричними по індексах j, до і що не виражаються (подібно до символів Крістоффеля) лише через тензор g ij і його похідні. Відмінність метричної зв'язності від ріманової оцінюється так званим тензором кручення:
,
геометричний сенс якого ілюструється таким чином. Розглянемо в двовимірному рімановом просторі метричної зв'язності малий трикутник, утворений відрізками геодезичних довжини а, b, з і кутами А, В, С. Тоді головна частина проекції кручення в точці А на сторону AB дорівнює відношенню величини з — acosb — bcosa до площі трикутника, а головна частина проекції кручення на перпендикуляр до AB — величині asinb — bsina, діленою на площу трикутника. Т. о., в рімановом просторі нульового кручення мають місце теореми косинусів і синусів звичайної тригонометрії з точністю до величин, малих порівняно з площею трикутника.
Криві, дотичний вектор до яких переноситься уздовж них паралельно, називаються геодезичними відповідній зв'язності; вони збігаються з рімановимі геодезичними, якщо тензор
кососимметрічен по всіх індексах.
Підпростори. На m -мерном підрізноманітті М-коду ріманова простору R, що задається рівняннями x i = x i ( u 1 ..., u m ) , причому ранг матриці рівний m, має місце Р. р., визначувана метричним тензором
М-код називається рімановим підпростором простору R.
Досить мала область m -мерного ріманова простору R може бути занурена в евклідовий простір досить великої розмірності N (тобто допускає відображення, що зберігає довжини, на підрізноманіття цього простору). Відомо, що ; питання про мінімальний значенні N в загальному випадку ще не вирішений, проте якщо коефіцієнти метричної форми g ij простору R є аналітичними функціями (тобто розкладаються в статечні ряди, що сходяться), то . Відносно завдання занурення в цілому (що представляє інтерес для фізики калібрувальних полів) відомо ще менше.
найдетальніше досліджені занурення двовимірних ріманових просторів. Так, наприклад: 1) двовимірний повний ріманово простір позитивної кривизни До. занурюється у вигляді замкнутої опуклої поверхні (овалоїда) в тривимірний ріманово простір кривизни не меншої До [проблема Р. Вейля (1916), вирішена німецьким математиком Х. Льові (1937) і А. Д. Александровим (1941) для занурення в евклідове простір і А. Ст Погореловим (1957) для ріманова простору], причому будь-які два занурення, що мають загальну крапку і загальний дотичний простір в ній, збігаються [тобто овалоїд однозначно визначений своєю метрикою, німецький математик С. Е. Кон-Фоссен (1927), А. В. Погорелов (1948)]. 2) Двовимірний повний ріманово простір негативної кривизни K £ K про < 0 не допускає занурення у вигляді регулярної поверхні [радянський математик Н. В. Ефімов (1963), окремий випадок плоскості Лобачевського ( До = — 1) розібраний Д. Гільбертом (1901)]. 3) Двовимірний ріманово простір, гомеоморфний тору, допускає занурення в чотиривимірне евклідовий простір [радянський математик Е. Г. Позняк (1973)].
Застосування і узагальнення ріманової геометрії. 1) Оскільки Р. р. визначається завданням двічі коваріантного симетричного тензора, остільки всяке фізичне завдання, що зводиться до вивчення такого тензорного поля, можна формулювати як завдання Р. р. Зокрема, до тензорних полів такого типа відносяться різні фізичні величини, характеризуючі пружні, оптичні, термодинамічні, діелектричні, пьезомагнітниє і інші властивості анізотропних тіл. При цьому симетрія коефіцієнтів g ij є віддзеркаленням одного з фундаментальних фізичних законів — закону взаємності. Так, завдання про теплопровідність анізотропного тіла, вирішена ще Ріманом (1861), з'явилася першим додатком Р. р.
2) Розгляд конфігураційного простору в механіці системи з n мірами свободи дозволило представити в ясній геометричній формі ряд механічних завдань. Так, наприклад, траєкторії вільного (тобто у відсутності узагальнених сил) руху голономної механічної системи з кінетичною енергією
де — узагальнені швидкості, є геодезичними відповідного n -мерного ріманова простори з метричним тензором g ij . Про деяких інших фактах згадувалося вищим. Аналогічну інтерпретацію отримує і рух у полі сил, що мають потенціал (див. Герца принцип ) .
3) У додатках Р. р. до механіки і фізики важливу роль грають додаткові структури, що узгоджуються в тому або іншому сенсі з метрикою ріманова простору. Так, наприклад:
а) Фізичним уявленням про пружне суцільне середовище з безперервним розподілом джерел внутрішніх напруги відповідає ріманово простір з деякою метричною зв'язністю: паралельне перенесення, відповідне їй, визначає так званий природний стан середовища уподовж кривий, а кручення ототожнюється з щільністю дислокації ;
би) ріманови простори з майже комплексною структурою (визначається полем один раз коваріантного і один раз контраваріантного тензора такого, що
де — Кронекера символ ) використовуються квантовою механікою для опису спостережуваних і станів систем багатьох часток;
в) залучення поняття так званої конформної зв'язності, тобто зв'язності ріманова простору, при якій результат паралельного перенесення метричного тензора g ij пропорційний йому самому, дозволило змоделювати деякі з так званих Бору постулатів, зокрема вибрані (або «дозволені») орбіти руху електронів в атомі — криві, уздовж яких метричний тензор зберігається.
4) Розвиток Р. р. у зв'язку із загальною теорією відносності (див. Тяжіння ) і механікою суцільних середовищ породило різні узагальнення її предмету, найголовнішими з яких є так звані псевдоріманови простори. Таке, наприклад, згідно теорії тяжіння, різноманіття подій (різноманіття простору — часу) — чотиривимірний простір із заданою на нім знаконеопределенной невиродженою квадратичною формою
(коефіцієнти такої «метрики», що допускає уявні відстані, якраз і характеризують поле тяжіння, граючи роль потенційних функцій). Ця форма в кожній точці простору подій може бути приведена до вигляду
d s 2 = dx 2 + dy 2 + dz 2 — dt 2
де х, в, z — просторові координати, t — час. Фізично такі, так звані локально галілєєви, системи відліку є вільно падаючими в полі тяжіння. Проте ввести таку систему на всьому різноманітті неможливо (оскільки наявність поля тяжіння математично виражається в кривизні псевдоріманова простору).
Інша дорога узагальнення Р. р. пов'язана з розглядом загальніших законів визначення відстаней, що задаються у вигляді лінійного елементу ds (див. Фінслерова геометрія ), і загальніших законів паралельного перенесення, а також з відмовою від вимог регулярності.
Літ.: Ріман Би., Соч., пер.(переведення) з йому.(німецький), М. — Л., 1948; Рашевський П. До., Ріманова геометрія і тензорний аналіз, 3 видавництва, М., 1967; Ейзенхарт Л. П., Ріманова геометрія, пер.(переведення) з англ.(англійський), М., 1948; Схоутен Я. А., Тензорний аналіз для фізиків, пер.(переведення) з англ.(англійський), М., 1965; Громол Д., Клінгенберг Ст, Мейєр Ст, Ріманова геометрія в цілому, пер.(переведення) з йому.(німецький), М., 1971.
