Кривизна
 
а б в г д е ж з и й к л м н о п р с т у ф х ц ч ш щ ъ ы ь э ю я
 

Кривизна

Кривизна (матем.), величина, що характеризує відхилення кривої (поверхні) від прямої (плоскість). Відхилення дуги MN кривої L від дотичної МР в точці М-коду можна охарактеризувати з допомогою т.з. середньої кривизни k cp цієї дуги, рівної відношенню величини її кута між дотичними в точках М-коду і N до довжини D s дуги MN:

загрузка...

.

  Для дуги кола середня кривизна дорівнює зворотній величині радіусу цього кола і, т. о., наочно характеризує міру викривленості кола — із зменшенням радіусу збільшується викривленість дуги.

  Граничне значення середньої кривизни при прагненні точки N кривої до точки М-коду, тобто при D s ®0, називається кривизною до кривій L в точці М-коду:

.

Величина R, зворотна кривизні, зазвичай називається радіусом кривизни кривої L в точці М.

  Якщо крива L є графіком функції в = f ( x ) , те крівізна до цієї кривої може бути обчислена за формулою

.

Кривизна до кривої L є, взагалі кажучи, функцію довжини дуги s , відлічуваною від деякої точки М-коду цієї кривої. Якщо для двох плоских кривих L 1 і L 2 До. як функції довжини дуги однакові, то криві L 1 і L 2 конгруентни — вони можуть бути поєднані рухом. Тому завдання До. плоскою кривою як функції довжини дуги зазвичай називається натуральним (внутрішнім) рівнянням цієї кривої.

  Для характеристики відхилення просторової кривої L від плоскості вводять поняття т.з. кручення, яке інколи називають другі К. Крученіє s в точці М-коду кривої визначається як межа відношення кута b між дотичною плоскістю до кривої в точках М-коду і N до довжини D s дуги MN при прагненні точки N до М-коду:

.

При цьому кут b вважається позитивним, якщо поворот дотичної плоскості в N при прагненні N до М-коду відбувається проти годинникової стрілки при спостереженні з крапки М. До. і кручення, задані як функції довжини дуги, визначають криву L з точністю до положення в просторі.

  Дослідження відхилення поверхні від плоскості може бути проведене таким чином. Через нормаль в даній точці М-коду поверхні проводять всіляку плоскість. Перетину поверхні цією плоскістю називають нормальними перетинами, а кривизни нормальних перетинів в точці М-коду — нормальними кривизнами поверхні в цій крапці. Максимальна і мінімальна з нормальних кривизн в даній точці М-коду іменуються головними кривизнами. Якщо k 1 і к 2 головні кривизни, то величини K=k 1 ×k 2 і Н = 1 / 2 ( k 1 + до 2 ) називають відповідно повною кривизною (або кривизною гауса) і середньою кривизною поверхні в точці М. Ці До. поверхні визначають нормальні До., тому можуть служити характеристикою відхилення поверхні від плоскості. Зокрема, якщо До = 0 і Н = 0 в усіх точках поверхні, то поверхнею є плоскість.

  Повна До. не міняється при вигинаннях поверхні (деформаціях поверхні, що не міняють довжин ліній на ній). Якщо, наприклад, повна До. дорівнює нулю в усіх точках поверхні, то кожен досить малий її шматок може бути зігнутий на плоскість. Повна До. на поверхні без звернення до охоплюючого простору складає об'єкт т.з. внутрішній геометрії поверхні. Середня До. пов'язана із зовнішньою формою поверхні.

  Поняття До. узагальнюється на об'єкти загальнішої природи. Наприклад, поняття До. виникає В т. н. ріманових просторах, будучи мірою відхилення цих просторів від евклідових.

  Літ.: Бляшке В., Диференціальна геометрія і геометричні основи теорії відносності Ейнштейна, пер.(переведення) з йому.(німецький), т.1, М.— Л., 1935; Рашевський П. До., Курс диференціальної геометрії, 4 видавництва, М. 1956; Погорелов А. Ст, Диференціальна геометрія, 5 видавництво, М., 1969.

  Е. Р. Позняк.

Мал. до ст. Кривизна.