Тензорне числення

Тензорне числення, математична теорія, що вивчає величини особливого роду, — тензори, їх властивості і правила дій над ними. Т. і. є розвитком і узагальненням векторного числення і теорії матриць . Т. і. широко застосовується в диференціальній геометрії, теорії ріманових просторів, теорії відносності, механіці, електродинаміці і інших галузях науки.

  Для опису багатьох фізичних і геометричних фактів зазвичай вводиться та або інша система координат, що дозволяє описувати різні об'єкти за допомогою одного або декількох чисел, а співвідношення між об'єктами — рівністю, що зв'язує ці числа або системи чисел. Деякі з величин, звані скалярними (маса, температура і т. д.), описуються одним числом, причому значення цих величин не змінюється при переході від однієї системи координат до іншої (ми розглядаємо тут фізичні явища з точки зору класичної фізики). Інші величини — векторні (сила, швидкість і т. д.), описуються трьома числами (компонентамі вектора), причому при переході від однієї системи координат до іншої компоненти вектора перетворяться по певному закону. Поряд із скалярними і векторними величинами зустрічаються в багатьох питаннях фізики і геометрія величини складнішої будови. Ці величини, звані тензорними, описуються в кожній системі координат декількома числами (компонентамі тензора), причому закон перетворення цих чисел при переході від однієї системи координат до іншої складніший, ніж для векторів (точні визначення будуть дани нижчий). При введенні координатної системи, окрім чисел, що описують сам об'єкт або фізичне явище, з'являються числа, що описують його зв'язок з вибраною системою координат. Розглянемо, наприклад, сукупність чисел J _ij ( i, j = 1, 2, 3), де J _ij   — осьовий момент інерції твердого тіла відносно осі X _i , а J _ij , (при i ¹ j ) — відцентрові моменти інерції, узяті із зворотним знаком. При переході від однієї системи координат до іншої осьовий момент інерції J _ii міняється (оскільки міняється положення осі x _i відносно тіла), а тому J _ii не може розглядатися як фізична величина, що має незалежний від вибору системи координат сенс. Це знаходить своє вираження, наприклад, в тому, що знання J _ii в одній системі координат не дозволяє знайти J _ii в іншій системі координат. В той же час сукупність всіх чисел J _ij має сенс, незалежний від вибору координатної системи. Знання всіх чисел J _ij в одній системі прямокутних координат дозволяє знайти їх в будь-якій іншій системі прямокутних координат по формулі  ( і  — деякі числа): тут, як прийняте в Т. і., опущений знак суми і вважається, що якщо один і той же індекс зустрічається двічі (один раз вгорі, а інший раз внизу), то по ньому виробляється підсумовування, причому цей індекс набуває всіх можливих для нього значень (у наведеному прикладі — значення 1, 2, 3). Т. і., як і векторне числення, є математичним апаратом, при якому виключається вплив вибору координатної системи. Це досягається тим, що завдання компонент тензора в якій-небудь системі координат визначає їх у всіх інших системах координат. У Т. і. вказуються методи здобуття співвідношень між тензорами і функцій від компонент тензорів не змінних при переході від однієї системи координат до іншої (інваріантних співвідношень і інваріантів).

  Т. о., одному з основних завдань Т. і. є знаходження аналітичних формулювань законів механіки, геометрія, фізики, не залежних від вибору координатної системи.

  1. Тензори в прямокутних координатах. Величини, які в кожній системі прямокутних координат задаються в 3-мірному просторі 3 ^до числами   ( i _r = 1, 2, 3) і при заміні системи координат ( x ₁ , x ₂ , x ₃ ) системою ( x’ ₁ , x’ ₂ , x’ ₃ ) замінюються числами  по формулах:

 , (1)

де, називаються тензорними величинами, а визначальні їх системи чисел — тензорами в прямокутних координатах (інколи тензорами називають також і самі тензорні величини). Число до називається валентністю (рангом) тензора, числа — його компонентам і (координатами). Аналогічним чином визначаються тензори в просторі будь-якого числа вимірів.

  Приклади тензорів: якщо координати вектора а позначити a _i ( i = 1, 2, 3), то числа а , утворюють тензор першої валентності. Будь-яким двом векторам а = { a _i } і b ={ b _i } відповідає тензор з компонентамі p _ij = a _i . b _j . Цей тензор називається діадою. Якщо а ( x ₁ , x ₂ , x ₃ ) — деяке векторне поле, те кожній точці цього поля відповідає тензор з компонентамі . Він називається похідною вектора а = {ai} по вектору r { x ₁ , x ₂ , хз } (позначається також через ). Згадана вище сукупність чисел J _ij утворює тензор другої валентності (тензор інерції).

  2. Тензори другої валентності. В додатках Т. і. до механіки, окрім тензорів першої валентності (векторів), найчастіше зустрічаються тензори другої валентності.

  Еслі p _ij = p _ji , те тензор називається симетричним, а якщо p _ij = –p _ji , те — кососимметрічеським (антисиметричним). Симетричний тензор має шість істотних компонент, а кососимметрічеський — три: ; ;  . При цьому компоненти w ₁ , w ₂ , w ₃ перетворяться як компоненти псевдовектора (див. Осьовий вектор ) . Взагалі псевдовектори (кутову швидкість, векторний твір двох векторів і ін.) можна розглядати як кососимметрічеськие тензори другої валентності. Далі, якщо в будь-якій системі координат прийняти,,, то вийде тензор, званий одиничним тензором. Компоненти цього тензора позначаються за допомогою Кронекера символу d _ij . Тензори інерції, напруга, одиничний тензор — симетричні. Всякий тензор єдиним чином розкладається на суму симетричних і кососимметрічеських тензорів. Якщо а ( r ) — вектор зсуву часток пружного тіла при малій деформації, то симетрична частина  називається тензором деформації; кососимметрічеськая частина  відповідає псевдовектору  (див. Вихор векторного поля).

Тензор  є симетричним лише у тому випадку, коли поле а ( r ) потенційно (див. Потенційне поле ) . Розкладання тензора  на симетричних і кососимметрічеськие частині відповідає розкладанню відносного зсуву da на чисту деформацію і на поворот тіла як цілого.

  Інваріантами тензора називаються функції від його компонент, не залежні від вибору координатної системи. Прикладом інваріанта є слід тензора p ₁₁ + p ₂₂ + p ₃₃ . Так, для тензора інерції він дорівнює подвоєному полярному моменту інерції відносно початки координат, для тензора  —   дивергенція векторного поля а ( r ) і т. д

  3. Тензори в аффінних координатах. Для багатьох завдань доводиться розглядати тензорні величини в аффінних координатах (косокутних координатах з різними одиницями довжини по різних осях). Положення однієї аффінной системи координат відносно іншої може бути описане двома різними системами чисел: числами  рівними компонентам векторів . нового базису відносно векторів  старого базису, і числами , рівними компонентам векторів  відносно базису . Відповідно до цього бувають тензори різного вигляду: у закони перетворення одні з них входять числа , а в закони перетворення інших — числа . Зустрічаються і тензори, в закони перетворення яких входять як числа, так і числа . Тензори першого вигляду називаються коваріантнимі, другого — контраваріантнимі і третього — змішаними тензорами. Точніше ( r + х )-валентным змішаним тензором s разів коваріантним і r разів контраваріантним. називають сукупність 3 ^r+s чисел, що задану в кожній системі аффінних координат і перетворюється при переході від однієї системи координат до іншої по формулах:

При розгляді прямокутних координат не доводиться розрізняти коваріантниє (ніжніє) і контраваріантниє (верхні) індекси тензора, оскільки для двох таких систем координат .

  Коефіцієнти рівняння поверхні другого порядку утворюють коваріантний тензор валентності 2, а елементи  матриці лінійного перетворення — тензор, 1 раз коваріантний і 1 раз контраваріантний. Система трьох чисел x ₁ , x ₂ , x ₃ , що перетворюються як координати вектора x = x ⁱ e _i , утворює 1 раз контраваріантний тензор, а система чисел, що перетворюються як скалярний твір x _i = xe _i , утворює 1 раз коваріантний тензор. Відносно перетворення аффінних координат символ Кронекера  є змішаним тензором (тому, на відміну від пункту 2, тут пишуть один індекс зверху, інший — знизу). Сукупність чисел g _ij = e _i e _j , де e _i — вектори базису, утворює тензор, званий коваріантним метричним тензором. Довжина будь-якого вектора простору   х = xiei рівна, а скалярний твір двох векторів х і в рівний g _ij x ⁱ y ^j . Сукупність величин g ^ij таких, що, утворює тензор, який називається контраваріантним метричним тензором.

  Дослівно, так само як і в тривимірному просторі, визначаються тензори в n -мерном просторі. Важливим прикладом тензорів в n -мерном просторі є сукупності компонент полівекторов .

  Порядок дотримання індексів істотним чином входить у визначення тензора, тобто при перестановці індексів компоненти тензора, взагалі кажучи, міняються. Тензор називається симетричним по даній сукупності індексів (одного і того ж рівня), якщо при перестановці будь-яких двох індексів цієї сукупності він не міняється. Якщо ж при такій перестановці компоненти тензора міняють знак, то він називається кососимметрічеським по цій сукупності індексів. У загальнішому сенсі умовою симетрії тензора називають будь-яку інваріантну лінійну залежність між його компонентамі.

  4. Дії над тензорами. Існують чотири основні операції над тензорами: складання тензорів, множення тензорів, згортання тензорів по двох або більш індексам і перестановка індексів тензора. Оскільки тензор задається своїми компонентамі в різних системах координат, то дії над тензорами задаються формулами, що виражають в кожній системі координат компоненти результату дії через компоненти тензорів, над якими виробляються дії. При цьому формули мають бути такими, щоб в результаті виконання дії вийшов тензор.

  а) Складання тензорів. Сумою двох тензорів  і  однакової будови (тобто що мають однакове число верхніх і нижніх індексів) називається тензор з компонентамі

  би) Множення тензорів. Твором двох тензорів  і  (мабуть різної будови) називається тензор з компонентамі . Твір тензорів, взагалі кажучи, залежить від порядку співмножників. Якщо один з тензорів має нульову валентність (тобто є скалярною величиною l) , те множення його на інший тензор  зводиться до множення всіх компонент тензора  на число l.

  в) Згортання тензора. Результатом згортання тензора  по індексах а і d (верхньому і ніжнему) називається тензор, компоненти якого рівні . (тут виробляється підсумовування по індексу i). Наприклад, слід матриці  є результатом згортання її по індексах i і j , біськалярноє твір  тензорів  і . дорівнює результату згортання їх твору по всіх індексах. При повному згортанні тензора (по всіх індексах) виходить інваріант.

  г) Перестановка індексів. Хай компоненти тензора  виражаються через компоненти тензора  формулою . Тоді говорять, що  вийшов з  перестановкою індексів з і е. При цьому переставлятися можуть лише індекси одного і того ж рівня.

  5. Тензорний аналіз. В додатках доводиться зазвичай розглядати не окремі тензори, а тензорні поля. Наприклад, при вивченні пружної деформації розглядають тензори деформації і напруги в усіх точках тіла. Якщо в просторі задана прямокутна система координат, то тензорне поле Т ( Р ) можна розглядати як сукупність функцій заданих в кожній точці Р ( х ¹ , x ² , x ³ ) області і таких, що перетворюються при переході від однієї системи прямокутних координат до іншої по формулах вигляду (1). В цьому випадку приватні похідні компонент тензора по координатах  утворюють також тензор, валентність якого на одиницю вища за валентність вихідного тензора. Наприклад, при диференціюванні скалярного поля виходить поле градієнта, при диференціюванні поля градієнта — поле симетричного тензора другої валентності:  і т. д.

  В тензорному аналізі розглядаються не лише прямокутні або аффінниє, але і довільні (достатнє число разів що диференціюються) криволінійні координати x ⁱ . В околиці кожної крапки ці координати можна замінити аффіннимі координатами. Як базисні вектори цих аффінних координат треба узяти приватні похідні  радіус-вектора r в точці Р.

  Тоді скалярні твори e _i e _j , дорівнюватимуть значенням компонент метричного тензора g _ij в точці Р, за допомогою якого довжина нескінченно малого вектора,,  виражається формулою . Тому метрика в криволінійній і прямолінійній системах координат збігається з точністю до нескінченно малих вищого порядку. Тим самим в кожній крапці простори вводиться своя (локальна) система аффінних координат, відносно якої і задаються компоненти тензорного поля в цій крапці. При переході від однієї системи криволінійних координат ( x’..., x _n ) до іншої ( в’..., y ⁿ ) локальна система координат в кожній крапці міняється, причому базисні вектори перетворяться по формулах . Іншими словами, коефіцієнти лінійного перетворення  будуть різними в різних крапках і рівні ; так само матриця  складається з виразів . Тому тензорним полем відносно криволінійних координат. називають сукупність функцій>, заданих в кожній точці області для системи криволінійних координат і що перетворюються при переході від однієї системи криволінійних координат до іншої по формулах (2), де належить . У даному випадку приватні похідні компонент поля по координатах x ⁱ вже не утворюють тензорного поля. Це пояснюється тим, що при переході від однієї крапки до іншої змінюються не лише компоненти тензора, але і локальна координатна система, до якої цей тензор відноситься. Тому при визначенні зміни тензора треба враховувати не лише зміну компонент тензора при переході від точки Р ( xi ) до нескінченно близької нею точки Q ( x’ + dx ⁱ ) , але і зміна локальної координатної системи. Іншими словами компоненти приросту тензора не можна вважати рівними приростам його компонент. Наприклад, для векторних полів u (P), де u має контраваріантниє компоненти u; приріст векторного поля дорівнює (з точністю до нескінченно малих вищого порядку) вираженню .    Тут через  позначені так звані символи Крістоффеля (див. Крістоффеля символ ) , пов'язані з метричним тензором  співвідношенням