Варіаційне числення, математична дисципліна, присвячена відшуканню екстремальних (найбільших і найменших) значень функціоналів, — змінних величин, залежних від вибору однієї або декількох функцій. Ст і. є природним розвитком тієї глави математичного аналізу, яка присвячена завданню відшукання екстремумів функцій. Виникнення і розвиток Ст і. тісно пов'язано з завданнями механіки, фізики і так далі
Одному з перших завдань Ст і. було знамените завдання про брахістохроні (І. Бернуллі, 1696): визначити форму кривої, лежачої у вертикальній плоскості, по якій важка матеріальна крапка, рухаючись під дією лише одній сили тяжіння і що не має початкової швидкості, перейде з верхнього положення А в нижнє положення В за мінімум часу. Це завдання зводиться до відшукання функції в ( х ) , що доставляє мінімум функціоналу
де а і b — абсциси точок А і Ст
Інший таким же «історичним» завданням є завдання про відшукання дороги, уздовж якої поширюється світло, що йде від джерела світла (точка А ) до деякої точки В, в середовищі із змінною оптичною щільністю (тобто в середовищі, де швидкість поширення v є функція координат). Для вирішення цього завдання може бути використаний, так званий, Ферма принцип, згідно з яким зі всіх кривих, що сполучають точки А і В, промінь світла поширюється уздовж тієї, по якій світло приходить з A в B за найкоротший час. У простому випадку, коли світло поширюється в плоскості, завдання зводиться до відшукання кривої в ( x ) , що доставляє мінімум функціоналу
З розрізнених завдань подібного роду поступово в 18 ст почало формуватися Ст і. Але і після оформлення Ст і. у самостійну дисципліну вона продовжувала залишатися пов'язаною з різними проблемами механіки і фізики. Впродовж 2-ої половини 18 ст і всього 19 ст робилися інтенсивні спроби побудувати будівлю механіки, спираючись на деякі загальні варіаційні принципи (див. Варіаційні принципи механіки ) . З 2-ої половини 19 ст починають розроблятися різні варіаційні принципи в механіці суцільних середовищ, потім пізніше в квантовій механіці, електродинаміці і так далі Виникають варіаційні принципи і в середовищах з дисипацією енергії. Дослідження у всіх подібних областях продовжують служити базою формування нових завдань Ст і. і областю додатка її методів. Проте з часом з'явилися і нові класи завдань, що далеко розсунули традиційні кордони дисципліни і Ст, що перетворили, і. у одну з найбільш обширних гілок сучасної математики, що включає, з одного боку, найабстрактніші питання, що відносяться в рівній мірі до топології і функціональному аналізу, а з іншої — всілякі обчислювальні методи вирішення технічних або економічних завдань.
Прямі методи . Ст і. як самостійна наукова дисципліна сформувалася в 18 ст, головним чином завдяки роботам Л. Ейлера .
Простим завданням Ст і. називають завдання відшукання функції x ( t ) , що доставляє екстремум функціоналу
де F — безперервна функція своїх аргументів, що диференціюється. При цьому функція x ( t ) повинна задовольняти наступним умовам:
а) вона має бути кусочно що диференціюється,
би) при t = t про і t = T вона повинна набувати значень
х (t про ) = х 0 , х (Т) = х т . (2)
Обидва завдання, розглянуті на початку статті, є окремими випадками простого завдання Ст і.
Перші варіаційні завдання були завданнями механіки. Вони були поставлені в 18 ст і, слідуючи традиціям того часу, перше питання, на яке треба було відповісти, було питання про спосіб фактичного відшукання функції x ( t ) , що реалізовує мінімум функціонала (1).
Ейлер створив чисельний метод вирішення завдань Ст і., який отримав назву Ейлера методу ламаних . Цей метод був першим серед великого класу, так званих, прямих методів ; всі вони засновані на редукції завдання відшукання екстремуму функціонала до завдання відшукання екстремуму функції багатьох змінних. Оскільки для здобуття рішення з високою точністю завдання доводиться зводити до відшукання екстремуму функції з великим числом змінних, вона стає вельми складною для ручного рахунку. Тому довгий час прямі методи були поза основним руслом, по якому прямували зусилля математиків, Ст, що займалися, і.
В 20 ст інтерес до прямих методів значно посилився. Перш за все були запропоновані нові способи редукції до завдання про екстремум функції кінцевого числа змінних. Пояснимо ці ідеї на простому прикладі. Розглянемо знову завдання відшукання мінімуму функціонала (1) при доповнить. умові
x (t про ) = x (T) = 0 (3)
і розшукуватимемо рішення задачі у формі
де j n (t) — деяка система функцій, що задовольняють умовам типа (3). Тоді функціонал J (x) стає функцією коефіцієнтів a i :
J = J (a i ..., a N ),
і завдання зводиться до відшукання мінімуму цієї функції N змінних. За відомих умов, накладених на систему функцій {j n } , рішення цієї задачі прагне при N ® ¥ до рішення задачі (1) (див. Рітца і Галеркіну методи ) .
Інша причина посилення інтересу до прямих методів — це систематичне вивчення конечноразностних методів в завданнях математичної фізики, що почалося з 20-х рр. 20 ст Вживання ЕОМ(електронна обчислювальна машина) перетворює поступово прямі методи на основний інструмент вирішення варіаційних завдань.
Метод варіацій. Другий напрям досліджень — це вивчення необхідних і достатніх умов, яким повинна задовольняти функція x ( t ) , що реалізовує екстремум функціонала J (x). Його виникнення також пов'язане з ім'ям Ейлера. Передбачимо, що тим або іншим способом побудована функція x ( t ) . Як перевірити, чи є ця функція рішенням задачі? Перший варіант відповіді на це питання був дан Ейлером в 1744. У приведеному нижче формулюванні цієї відповіді уживається введене в 60-х рр. 18 ст Же. Лагранжем поняття варіації (звідси назва — Ст і.), що є узагальненням поняття диференціала на випадок функціоналів.
Хай x ( t ) — функція, що задовольняє умові (2), а h (t) — довільна гладка функція, що задовольняє умові h (t про ) = h (T) = 0. Тоді величина
J (x + eh) = J*(e),
де e — довільне дійсне число буде функцією e . Варіацією dj функціонала J називають похідну
(dj*/de) e = 0.
Для простого завдання Ст і.
Розкладаючи отримане вираження в ряд по мірах e, отримаємо
де про (e) — члени більш високого порядку. Оскільки h ( t про ) = h ( T ) = 0, то, провівши інтеграцію по частинах в другому інтегралі, знайдемо
Хай тепер x ( t ) реалізує екстремум. Тоді функція J*(e) має екстремум при e = 0. Тому величина dj повинна перетворитися на нуль. Звідси слідує: для того, щоб функція x ( t ) доставляла екстремум функціоналу (1), необхідно, щоб вона задовольняла рівнянню
званому рівнянням Ейлера.
Це — диференціальне рівняння 2-го порядку відносно функції x ( t ) . Необхідна умова dj = 0 може бути застосовано у ряді випадків для ефективного відшукання вирішення варіаційної завдання, оскільки функція x ( t ) необхідно має бути рішенням краєвої задачі x ( t про ) = x про , x ( T ) = x T для рівняння (4). Якщо знайдено це рішення і воно єдине, то знайдено тим самим і рішення вихідної варіаційної задачі. Якщо краєве завдання допускає декілька рішень, то досить обчислити значення функціонала для кожного з рішень краєвої задачі і вибрати з них те, якому відповідає найменше значення J ( x ) . Проте вказана дорога володіє одним істотним недоліком: не існує універсальних способів вирішення краєвих завдань для звичайних (нелінійних) диференціальних рівнянь.
Вже в 2-ій половині 18 ст круг завдань, Ст, що вивчаються, і., значно розширився. Перш за все основні результати, що відносяться до простого завдання Ст і., були перенесені на загальний випадок інтегральних функціоналів вигляду
де x ( t ) — вектор-функція довільної розмірності, і на функціонали ще загальнішого вигляду.
Умовний екстремум. Завдання Лагранжа. В кінці 18 ст були сформульовані ряд завдань на умовний екстремум. Цим терміном прийнято називати завдання відшукання функції x ( t ) , що доставляє екстремум функціоналу J ( x ) за яких-небудь додаткових умов, окрім умов на кінцях інтервалу (t 0 , T). Простим завданням подібного вигляду є клас так званих ізопериметричних завдань . Своєю назвою цей клас завдань зобов'язаний наступній: серед всіх замкнутих кривих даної довжини знайти ту, яка обмежує максимальну площу.
Значно складнішим завданням є та, в якій обмеження носять характер диференціальних рівнянь. Це завдання називають завданням Лагранжа; особливе значення вона придбала в середині 20 ст у зв'язку із створенням теорії оптимального управління . Тому її формулювання дається нижче на мові цієї теорії, що виникла після робіт Л.С. Понтрягина і його учнів.
Хай x (t) і u (t) — вектор-функції розмірності n і m відповідно, причому функція x ( t ) , яку називають фазовим вектором, при t = t про і t = T задовольняє граничним умовам:
x (t 0 ) Î e 0 , x (T) Î e T (5)
де e 0 і e T — деяка безліч. Простим прикладом умов типа (5) є умови (2). Функція x ( t ) і функція u ( t ) , яку називають управлінням, зв'язані умовою
dx/dt = f (x, u t), (6)
де f — вектор-функція своїх аргументів, що диференціюється. Дане завдання полягає в наступному: визначити функції x ( t ) і u ( t ) , що доставляють екстремум функціоналу
Відмітимо, що і просте завдання Ст і. і ізопериметричне завдання є окремим випадком завдання Лагранжа.
Завдання Лагранжа має величезне прикладне значення. Хай, наприклад, рівняння (6) описує рух якого-небудь динамічного об'єкту, наприклад космічного корабля. Управління u — це вектор тяги його двигуна. Безліч e 0 і e T — це дві орбіти різних радіусів. Функціонал (7) описує витрата горючого на виконання маневру. Отже, завдання Лагранжа, стосовно даної ситуації, можна сформулювати таким чином: визначити закон зміни тяги двигуна космічного апарату, що здійснює перехід з орбіти e 0 на орбіту e T за заданий час так, щоб витрата палива на цей маневр була мінімальною.
Важливу роль в теорії подібних завдань грає функція Гамільтона
H (x, в, u) = (f, в) - F.
Тут в — вектор, називається множником Лагранжа (або імпульсом), (f, в) означає скалярний твір векторів f і в . Необхідна умова в завданні Лагранжа формулюється таким чином: для того, щоб функції і були рішенням задачі Лагранжа, необхідно, щоб була стаціонарною точкою функції Гамільтона Н (х, в, u), тобто, щоб при
було ¶ H/ ¶ u = 0, де в — не рівне тотожно нулю вирішення рівняння
¶y/t = —¶H/¶x = j(x, в, u, t). (8)
Ця теорема має важливе прикладне значення, оскільки вона відкриває відомі можливості для фактичного знаходження векторів x ( t ) і u ( t ) .
Розвиток Ст і. у 19 ст Основні зусилля математиків в 19 ст були направлені на дослідження умов, необхідних або достатніх для того, щоб функція x ( t ) реалізувала екстремум функціонала J ( x ) . рівняння Ейлера було першим з таких умов; воно аналогічно необхідній умові
яке встановлюється в теорії функцій кінцевого числа змінних. Проте в цій теорії відомі ще і інші умови. Наприклад, для того, щоб функція f ( x ) мала в крапці мінімум, необхідно, щоб в цій крапці було
який би не був довільний вектор h. Природно поставити питання: у якій мірі ці результати переносяться на випадок функціоналів? Для того, щоб уявити собі складність яка тут виникає, відмітимо, що функція може реалізувати мінімум серед функцій одного класу і не давати мінімум серед функцій іншого класу і так далі
Подібні питання послужили джерелом всіляких і глибоких досліджень А. Лежандра, До. Якобі, М. Ст Остроградського, В. Гамільтона, До. Вейерштраса і багато інших. Ці дослідження не лише збагатили математичний аналіз, але і зіграли велику роль у формуванні ідей аналітичної механіки і зробили серйозний вплив на розвиток всіляких відділів теоретичної фізики.
Розвиток Ст і. у 20 ст В 20 ст виникли цілий ряд нових напрямів Ст і., пов'язаних з інтенсивним розвитком техніки, суміжних питань математики і обчислювальної техніки. Один з основних напрямів розвитку Ст і. у 20 ст — розгляд некласичних завдань Ст і., що привело до відкриття принципу максимуму Л.С. Понтрягина.
Розглянемо знову завдання Лагранжа: визначити мінімум функціонала
за умови
фазовий вектор x ( t ) повинен задовольняти ще деяким граничним умовам.
В своїй класичній постановці умови завдання Лагранжа не передбачають жодних обмежень на управління u ( t ) . Вище (див. розділ Умовний екстремум. Завдання Лагранжа) підкреслювався тісний зв'язок між завданням Лагранжа і завданням управління. У розглянутому там прикладі u ( t ) — тяга ракетного двигуна. Ця величина підпорядкована обмеженням: тяга двигуна не може перевершувати деякої величини, і кут повороту вектора тяги також обмежений. У даному конкретному прикладі компонента u i (i = 1,2,3) вектора тяги двигуна підпорядкована обмеженням
де а - i і a + i — деякі задані числа. Подібних прикладів можна привести багато.
Таким чином, в техніці з'явилися багато завдань, які зводяться до завдання Лагранжа, але при додаткових обмеженнях типа (10), записуваних у формі u Î G u , де G u — деяка безліч, яка, зокрема, може бути замкнутим. Такі завдання отримали назву завдань оптимального управління. У завданні Лагранжа можна виключити управління u ( t ) за допомогою рівняння (8) і отримати систему рівнянь, яка містить лише фазову змінну х і множник Лагранжа j . Для теорії оптимального управління мав бути розроблений спеціальний апарат. Ці дослідження привели до відкриття принципу максимуму Л.С. Понтрягина. Він може бути сформульований у формі наступної теореми: для того, щоб функції і були рішенням задачі оптимального управління щоб вони доставляли мінімум функціоналу (9)], необхідно, щоб u ( t ) доставляла максимум функції Гамільтона
де в — множник Лагранжа (імпульс), який є ненульовим вирішенням векторного рівняння
Принцип максимуму дозволяє звести завдання оптимального управління до краєвого завдання для системи звичайних диференціальних рівнянь порядку 2n ( n — розмірність фазового вектора). Принцип максимуму і в цьому випадку дає сильніший результат, ніж теорема Лагранжа, оскільки він вимагає, щоб було не стаціонарним значенням функції Гамільтона Н, а доставляло максимум Н.
Можливий і інший підхід до тих же проблем теорії оптимального управління. Хай s ( х, t ) — значення функціонала (9) уздовж оптимального рішення. Тоді для того, щоб функція була оптимальним управлінням, необхідно (а в деяких випадках і досить), щоб функція s ( х, t ) задовольняла наступному диференціальному рівнянню з приватними похідними:
Круг питань, якими займається Ст і., безперервно розширюється. Зокрема, вся більша і більша увага приділяється вивченню функціоналів J ( x ) вельми загального вигляду, що задаються на безлічі G x елементів з нормованих просторів. Для завдань такого роду вже важко використовувати метод варіацій. Виникли нові методи, засновані на використанні поняття конуса в Банахових просторах, опорних функціоналів і так далі
Вже в 19 ст був виявлений глибокий зв'язок між деякими проблемами теорії рівнянь з приватними похідними і варіаційними завданнями. П. Дирихле показав, що вирішення краєвих завдань для рівняння Лапласа еквівалентно рішенню деякої варіаційної задачі. Ця проблема залучає до себе все більше і більше уваги. Розглянемо один приклад.
Передбачимо, що є деяке лінійне операторне рівняння
Ax = f, (11)
де х (x, h) — деяка функція два незалежних змінних, що перетворюється на нуль на замкнутій кривій Г. Прі припущеннях, природних для деякого класу завдань фізики, завдання відшукання вирішення рівняння (11) еквівалентне відшуканню мінімуму функціонала
де W — область, обмежена кривий Р.
рівняння (11) в цьому випадку є рівнянням Ейлера для функціонала (12). Редукція завдання (11) до (12) можлива, наприклад, якщо А — самосопряженний і позитивно визначений оператор. Оператор Лапласа
задовольняє цим вимогам. Зв'язок між проблемами для рівнянь з приватними похідними і варіаційними завданнями має велике практичне значення. Вона дозволяє, зокрема, встановлювати справедливість різних теорем існування і єдиності і зіграла важливу роль в кристалізації поняття про узагальнене рішення. Ця редукція дуже важлива також і для обчислить, математики, оскільки вона дозволяє використовувати прямі методи варіаційного числення.
В перерахуванні основних розділів сучасного Ст і. не можна не вказати на глобальні завдання Ст і., вирішення яких вимагає якісних методів. Шукане рішення варіаційної задачі задовольняє деякому складному нелінійному рівнянню і краєвим умовам. Природно поставити питання про те, скільки рішень допускає це завдання. Прикладом такого завдання є питання про кількість геодезичних, які можна провести між двома крапками на заданій поверхні. Проблема подібного роду відноситься вже до компетенції якісної теорії диференціальних рівнянь і топології. Остання обставина дуже характерний. Методи, специфічні для суміжних дисциплін, топології, функціонального аналізу і так далі, все ширше починають застосовуватися в Ст і. У свою чергу, ідеї Ст і. проникають у все нові області математики, і грань між Ст і. і суміжними областями математики тепер провести вже важко.
Літ.: Лаврентьев М. А., Люстерник Л. А., Курс варіаційного числення, 2 видавництва, М. — Л., 1950; Блісе Р. А., Лекції з варіаційного числення, пер.(переведення) з англ.(англійський), М., 1950; Міхлін С. Р., Варіаційні методи в математичній фізиці, М., 1957; Смирнов Ст І., Курс вищої математики, 5 видавництво, т. 4, М., 1958; Гельфанд І. М., Фомін С. Ст, Варіаційне числення, М., 1961; Математична теорія оптимальних процесів, М., 1969.
