Рітца і Галеркіну методи, широко поширені прямі методи вирішення головним чином варіаційних завдань і краєвих завдань математичного аналізу (див. Краєві завдання, Варіаційне числення ) .
Метод Рітца застосовується переважно для наближеного вирішення варіаційних завдань і тих краєвих завдань, які зводяться до варіаційних. Хай заданий функціонал V [ в ( x )] (або складніший функціонал) і потрібно знайти таку функцію в ( х ) , що приймає в точках x 0 і x i задані значення а = в ( х 0 ) і b = в ( х 1 ) , на якій функціонал V [ в ( x )] досягатиме екстремуму . Значення досліджуваного на екстремум функціонала V [ в ( x )] розглядаються не на всіх допустимих в даному завданні функціях в ( х ) , а лише на всіляких лінійних комбінаціях вигляду
з постійними коефіцієнтами a i , складених з n перших функцій деякої вибраної системи j 1 ( x ) , j 2 ( х ) ..., j п ( х ) ... (від вдалого вибору цієї системи функцій залежить ефективність вживання методу до вирішення конкретних завдань). Необхідним умовою вибору системи функцій j 1 ( х ) є вимога, щоб функції у п ( х ) задовольняли умовам уп ( х про ) = а і y n ( x 1 ) = а для всіх значень параметрів a 1. Прі такому виборі функцій у п ( х ) функціонал V [ в ( x )] перетворюється на функцію Ф ( а 1 , a 2 ..., a n ) коефіцієнтів a i , останні вибирають так, щоб ця функція досягала екстремуму, тобто визначають їх з системи рівнянь
.
Наприклад, хай потрібно вирішити завдання про мінімум інтеграла
за умови в (0) = в (1) = 0. Як функції j i ( x ) можна узяти x i (1 — х ) , тоді
.
Якщо n = 2, то . Для визначення коефіцієнтів a 1 і а 2 отримуємо після обчислень два рівняння
;
.
Вирішенням цих рівнянь є числа a 1 = 71/369 і a 2 = 7 / 41 . Отже . Отримане наближене рішення відрізняється від точного на величину порядка 0,001.
Знайдене цим методом наближене вирішення у п ( х ) варіаційною завдання за деяких умов, що стосуються в основному повноти системи функцій j i ( x ) , прагне до точного вирішення в ( х ) , коли n ® ¥.
Метод був запропонований в 1908 німецьким математиком В. Рітцем (W. Ritz). Теоретичне обгрунтування методу дане сов.(радянський) математиком Н. М. Криловим (1918).
Метод Галеркіну є широким узагальненням методу Рітца і застосовується головним чином для наближеного вирішення варіаційних і краєвих завдань, у тому числі і тих, які не зводяться до варіаційних. Основна ідея методу Галеркіну полягає в наступному. Хай потрібний в деякій області D знайти вирішення диференціального рівняння
L [ u ] = 0 (1)
(L — деякий диференціальний оператор, наприклад по двох змінним), що задовольняє на кордоні S області D однорідним краєвим умовам:
u = 0. (2)
Якщо функція u є вирішенням рівняння (1) в області D, те функція L [ u ] тотожно дорівнює нулю в цій області і, отже, ортогональна (див. Ортогональность ) будь-якій функції в області D. Наближене вирішення рівняння (1) шукають у вигляді
, (3)
де y i ( x, в ) ( i = 1, 2..., n ) — лінійно незалежні функції, що задовольняють краєвим умовам (2) і що є першими n функціями деякої системи функцій y 1 ( x, в ) , y 2 ( х, в ),..., y п ( х, в ) ..., повною в даної області. Постійні коефіцієнти a i вибирають так, щоб функція L [ u n ] була ортогональна в D першим n функціям системи y i ( x, в ):
(4)
.
Наприклад хай в області D потрібно вирішити рівняння Пуассона
за умови u = 0 на S . Вибираючи систему функцій y i ( x, в ) , шукаємо рішення у вигляді (3). Система рівнянь (4) для визначення коефіцієнтів ai має вигляд:
.
Функції y i ( x, в ) можна, зокрема, вибирати, користуючись наступними міркуваннями. Хай w( x, в ) — безперервна функція, що має усередині області D безперервні приватні похідні другого порядку і така, що w( x, в )> 0 усередині D, w( x, в ) = 0 на S . Тоді як система функцій y i ( x, в ) можна узяти систему, складену з творів w( x, в ) на різні міри х і в :,,,, . Наприклад, якщо кордоном області D є коло S радіусу R з центром на початку координат, то можна покласти w( x, в )= R 2 — x 2 — y 2 .
Метод Галеркіну застосовується при вирішенні широкого класу завдань; загальніша його формулювання дається в термінах функціонального аналізу для вирішення рівнянь вигляду Au — f = 0, де А — лінійний оператор, визначений на лінеалі, щільному в деякому Гільбертовому просторі H, u — шуканий і f — заданий елементи простору H.
Метод набув поширення після досліджень Би. Р. Галеркіну (1915); раніше (1913) він застосовувався для вирішення конкретних завдань теорії пружності І. Р. Бубновим, у зв'язку з чим інколи іменується методом Бубнова — Галеркіну. Теоретичне обгрунтування методу належить М. Ст Келдишу (1942).
Літ.: Галеркін Би. Р., Стрижні і пластинки. Ряди в деяких питаннях пружної рівноваги стрижнів і пластинок, «Вісник інженерів», 1915, т. 1 № 19, с. 897—908; Міхлін С. Р., Варіаційні методи в математичній фізиці, 2 видавництва, М. — Л., 1970; Канторовіч Л. Ст і Крилов Ст І., Наближені методи вищого аналізу, 5 видавництво, Л. — М., 1962; Ritz W., Neue Methode zur Lösung gewisser Randwertaufgaben, «Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen. Math.-physik. Klasse. Nachrichten», Göttingen, 1908; його ж Über ще neue Methode zur Lösung gewisser Variationsprobleme der mathematischen Physik, «Journal für die reine und angewandte Mathematik», 1909, Bd 135.
