Краєві завдання, завдання, в яких з деякого класу функцій, визначених в даної області, потрібно знайти ту, яка задовольняє на кордоні (краю) цієї області заданим умовам. Функціями, що описують конкретні явища природи (фізичні, хімічні і ін.), як правило, є вирішення рівнянь математичної фізики, виведених із загальних законів, яким підкоряються ці явища. Коли дані рівняння допускають цілі сімейства рішень, додатково задають так звані краєві або початкові умови, що дозволяють однозначно виділити рішення, що цікавить нас. В той час, як краєві умови задаються виключно на граничних точках області, де шукається рішення, початкові умови можуть виявитися заданими на певній безлічі крапок усередині області. Наприклад, рівняння
(1)
має безконечна безліч вирішень u (x 1 , х 2 ) = f (x 1 +x 2 ) + f 1 (x 1 -x 2 ) , де f і f 1 — довільні двічі функції, що безперервно диференціюються. Проте в прямокутнику — а £ x 2 £ а, 0 £ x 1 £ l, плоскість з прямокутними декартовими координатами x 1 , x 2 рівняння (1) має єдине вирішення u (x 1 , x 2 ), що задовольняє краєвим
u (0, x 2 ) = 0, u ( l , x 2 ) = 0, — а £ x 2 £ а, (2)
і початковим
u ( x 1 , 0) = j( x 1 ) ,
(3)
умовам. При цьому двічі функції j, що безперервно диференціюються, і у вважаються наперед заданими. Якщо змінне x 2 є час t, те вирішення u ( х, t ) рівняння (1), що задовольняє умовам (2) і (3), описує вагання пружної струни довжини l з кінцями, закріпленими в крапках (0, 0) і (0, l ). Викладене завдання знаходження вирішення рівняння (1) за умов (2) і (3) — простий приклад так званого змішаного завдання.
Взагалі краєвими називають завдання, в яких в заданої області G простору незалежних змінних ( x 1 ..., x n ) = х шукається вирішення u ( х ) = u ( x 1 ..., x n ) рівняння
Du ( x ) = 0, x Î G (4)
при вимозі, що шукана функція u ( х ) на кордоні S області G задовольняє краєвій (граничному) умові
Bu ( в ) = 0, в Î S, (5)
де D і В — задані оператори, причому, як правило, D — диференціальний або інтегро-дифференційний оператор. Кордон S називається носієм краєвих даних (5).
Коли оператори D і В лінійні, До. з. (4), (5) називається лінійною. У припущеннях, що S є ( n — 1 ) -мерной гіперповерхнею, D — лінійним диференціальним оператором другого порядку
,
а
,
де A i, j , B i , C, F, f — задані функції, завдання (4), (5) називається першою краєвий задаєй Дирихле. Якщо ж
,
де a i , i = 1..., n, f — задані функції, то завдання (4), (5) називається завданням похилої (косою) похідної. Зокрема, коли вектор ( a 1 ..., a n ) збігається з конормалью до S, завдання похилої похідної носить назву другого краєвого завдання, або завдання Неймана. Завдання Дирихле (Неймана) називається однорідним, якщо
F ( x ) = 0, f ( в ) = 0 .
Завдання Дирихле і Неймана добре досліджені в обмежених областях з досить гладким кордоном в разі рівномірної еліпсної оператора D з дійсними коефіцієнтами, тобто при дотриманні умов
, x Î G S (6)
де l 1 ..., l n — довільні дійсні параметри, а k 0 і k 1 — фіксовані відмінні від нуля числа однакового знаку.
При вимозі достатньої гладкості коефіцієнтів операторів D і В і рівномірній еліпсній оператора D справедливі наступні твердження: 1) число до лінійно незалежних рішень однорідної задачі Дирихле (Неймана) звичайно; 2) для вирішуваної завдання Дирихле (Неймана) необхідно і досить щоб функції F ( x ) і f ( в ) були підпорядковані додатковим обмеженням типа умов ортогональності, число яких рівне до ; 3) при дотриманні умови
З ( x ) £ 0, x Î G,
завдання Дирихле завжди має і притому єдине рішення; 4) в області G досить малого діаметру завдання Дирихле завжди має і притому єдине рішення і 5) при однозначній вирішуваній завдання Дирихле (Неймана) малу зміну краєвих даних викликає мала зміна рішення (тобто рішення стійке).
Когда D є оператором Лапласа, рішення задачі Дирихле в обмеженої області з досить гладким кордоном завжди існує і єдино, причому для деяких областей приватного вигляду воно виписується в явному вигляді. Так, наприклад, при n = 1 в інтервалі —1 < х < 1 це рішення має вигляд
u ( х ) = ,
де f 1 = u ( — 1), f 2 = u (1), а при n = 2 і n = 3, відповідно, в крузі | x | < 1 і кулі | x | < 1
,
,
де | х—у | — відстань між точками х і в. Лінійну До. з. називають фредгольмової, якщо для неї мають місце сформульовані вище твердження 1) — 5).
В До. з. для еліптичних рівнянь зазвичай передбачається, що носієм краєвої умови є весь кордон S області G .
Якщо умова (6) рівномірної еліпсній не задоволено, але оператор D є еліптичним в тому сенсі, що квадратична форма в області D позитивно (або негативно) визначена, то інколи для збереження фредгольмовості До. з. сповна певну частину кордону S області G слід звільнити від краєвих даних.
Лінійна До. з. навіть при вимозі рівномірної еліпсної диференціального оператора D, взагалі кажучи немає фредгольмової. Зокрема, завдання похилої похідної може не виявитися фредгольмової, якщо вектор ( a 1 ..., a n ) в деяких точках кордону S лежить в дотичній до S плоскості.
Коли диференціальний оператор D не є еліптичним, До. з. (4), (5) може зовсім не мати змістовного сенсу, якщо частина кордону S області G не звільнити від краєвих даних і на структуру носія краєвих даних не накласти певні (деколи вельми сильні) обмеження. Так, наприклад, рівняння теплопровідності
,
що є типовим представником рівнянь параболічного типа, в квадраті, обмеженому прямими: x 1 = 0, x 1 = 1, x 2 = 0, x 2 = 1, має єдине вирішення u ( x 1 , x 2 ) , що задовольняє краєвим умовам:
u (0, x 2 ) = f ( x 2 ) , 0 £ x 2 £ 1
u ( x 1 , 0) = j( x 1 ), 0 £ x 1 £ 1
u (1, x 2 ) = в( x 2 ) , 0 £ x 2 £ 1
f (0) = j(0) , в(0) = j( 1 )
при довільних досить гладких даних f, j. в. Отже, краєве умова u ( x 1 , 1) = q( x 1 ) , 0 £ x 1 £ 1, вже не можна задавати довільно. Так само розглянуте вище просте рівняння гіперболічного типа (1) в квадраті, обмеженому прямими: x 1 + x 2 = 0, x 1 - x 2 = 0, x 1 + x 2 = 1, x 1 - x 2 = —1, має єдине вирішення u ( x 1 , x 2 ) , що задовольняє краєвим умовам:
u ( x 1 , x 1 ) = f ( x 1 ) , 0 £ x 1 £ 1 / 2
u ( x 1 -x 1 ) = j( x 1 ) , — 1 / 2 £ x 1 £ 0
f (0) = j(0)
при довільних досить гладких даних f і j. Очевидно, що в розглянутому випадку краєві значення u ( x 1 ,1+x 1 ) — 1 / 2 £ x 1 £ 0, і u ( х 1 , 1-x 1 ) , 0 £ x 1 £ 1 / 2 , не можуть бути задані довільно.
Особливо ставляться До. з., коли в різних частинах даної області G диференціальний оператор D належить різним (еліптичним гіперболічним і параболічним) типам [тобто коли рівняння (4) є рівнянням змішаного типа].
Для дослідження До. з. широко використовуються методи інтегральних рівнянь (потенціалу), апріорних оцінок і кінцевих різниць.
Літ.: Бернштєїн С. Н., Собр. соч.(вигадування), т. 3, [М.], 1960; Біцадзе А. Ст, Краєві завдання для еліптичних рівнянь другого порядку, М., 1966; Векуа І. Н., Нові методи вирішення еліптичних рівнянь, М.— Л., 1948; Володимирів Ст С., Рівняння математичної фізики, М., 1967; Мусхелішвілі Н. І., Сингулярні інтегральні рівняння, 3 видавництва, М., 1968; Петровський І. Р., Лекції про рівняння з приватними похідними, 3 видавництва, М., 1961; Собольов С. Л., Деякі вживання функціонального аналізу в математичній фізиці, Новосибірськ, 1962; Тіхонов А. Н., Самара Д. А., Рівняння математичної фізики, 3 видавництва, М., 1966.
