Екстремум (від латів.(латинський) extremum — крайнє), значення безперервної функції f (x), що є або максимумом, або мінімумом. Точніше: безперервна в точці х 0 функція f (x) має в x 0 максимум (мінімум), якщо існує околиця ( x 0 + d, x 0 — d) цієї крапки, що міститься в області визначення f ( x ) , і така, що в усіх точках цій околиці виконується нерівність f ( x 0 ) , ³ f ( x ) [відповідно, f ( x 0 ) £ f ( x )]. Якщо при цьому існує така околиця, що в ній f ( x 0 ) > f ( x ) [або f ( x 0 ) << f ( x )] при х ¹ x 0 , те говорять про строгий, або власному, максимумі (мінімумі), інакше — про нестрогий, або невласному, максимумі (мінімумі) (на мал. 1 в крапці А досягається строгий максимум, в крапці В — нестрогий мінімум). Точки максимуму і мінімуму називаються точками екстремуму. Для того, щоб функція f ( x ) мала Е. у деякій точці x 0 , необхідне, щоб вона була безперервна в x 0 і щоб або f` ( x 0 ) = 0 (крапка А на мал. 1 ), або f` ( x 0 ) не існувала (крапка З на мал. 1 ). Якщо при цьому в деякій околиці точки x 0 похідна f'' ( x ) зліва від x 0 позитивна, а справа негативна, то f ( x ) має в x 0 максимум; якщо f'' ( x ) зліва від x 0 негативна, а справа позитивна, то — мінімум (перша достатня умова Е.). Якщо ж f'' ( x ) не міняє знаку під час переходу через точку x 0 , того функція f ( x ) не має Е. у точці x 0 (точки D, Е і F на мал. 1 ). Якщо f ( x ) в точці x 0 має п послідовних похідних, причому f'' ( x 0 ) = f`` ( x 0 ) =...= f (n-1) ( x 0 ) =0, а f (n) ( x 0 )¹ 0, те при п непарному f ( x ) не має Е. у точці x 0 , а при п парному має мінімум, якщо f (n) ( x 0 ) > 0, і максимум, якщо f (n) ( x 0 ) < 0. Е. функції не слід змішувати з найбільшим і найменшим значеннями функції .
Аналогічно Е. функції одного змінного визначається Е. функції декілька змінних. Необхідною умовою Е. є в цьому випадку перетворення на нуль або ж неіснування приватних похідних першого порядку. Наприклад, на мал. 2 приватні похідні дорівнюють нулю в точці М-коду , на мал. 3 в точці М-коду вони не існують. Якщо в деякій околиці точки М-коду ( х 0 , y 0 ) існують і безперервні перші і другі приватні похідні функції f ( x, в ) і в самій точці f'' x = f'' в = 0,
D = f'''' xx f'''' уу > 0,
те f ( x, в ) в точці М-коду має Е. (максимум при f '''' xx < 0 і мінімум при f '''' xx > 0); Е. у точці М-коду не існує, якщо D < 0 (в цьому випадку М-код є т.з. сідловиною, або точкою мінімакса, див.(дивися) мал. 4 ).
Достатні умови Е. функцій багатьох змінних зводяться до позитивної (або негативною) визначеності квадратичної форми
S n i, k=1 a ik D x i D x до
де a ik — значення f''''x i x до в досліджуваній крапці. Див. також Умовний екстремум .
Термін «Е.» уживається також при вивченні найбільших і найменших значень функціоналів в варіаційному численні .
Літ.: Ільін Ст А., Позняк Е. Р., Основи математичного аналізу, 3 видавництва, ч. 1, М., 1971.
