Ізопериметричні завдання
 
а б в г д е ж з и й к л м н о п р с т у ф х ц ч ш щ ъ ы ь э ю я
 

Ізопериметричні завдання

Ізопериметричні завдання (від з... і периметр ), клас завдань варіаційного числення . Прості І. з. (знаходження трикутників і багатокутників заданого периметра, що мають найбільшу площу; знаходження замкнутої кривої заданої довжини що обмежує максимальну площу; визначення замкнутої поверхні заданої площі, що обмежує найбільший об'єм, і т. п.) були відомі старогрецьким ученим (Архімед, Зенодор і ін.). Загальне вивчення І. з. почалося в 1697, коли Я. Бернуллі опублікував поставлену і частково вирішену їм І. з.: серед всіх кривих даної довжини знайти криву, для якої деяка величина, залежна від кривої, досягає мінімуму або максимуму. Систематичне дослідження І. з. було вперше проведено в 1732 Л.  Ейлером . Приклад І. з.: серед кривих даної довжини l , що проходять через точки А і B , знайти криву, для якої площа криволінійної трапеції (заштрихована на мал. ) була б найбільшою. Площа криволінійної трапеції рівна

загрузка...

                    (1)

довжина дуги

                 (2)

Отже, завдання зводиться до знаходження найбільшого значення інтеграла (1) за наявності умов (2). Виявляється, що шукана крива — дуга кола.

  Літ.: Лаврентьев М. А., Люстерник Л. А., Курс варіаційного числення, 2 видавництва, М-коди. — Л., 1950.

Мал. до статті Ізопериметричні завдання.