Ізопериметричні завдання (від з... і периметр ), клас завдань варіаційного числення . Прості І. з. (знаходження трикутників і багатокутників заданого периметра, що мають найбільшу площу; знаходження замкнутої кривої заданої довжини що обмежує максимальну площу; визначення замкнутої поверхні заданої площі, що обмежує найбільший об'єм, і т. п.) були відомі старогрецьким ученим (Архімед, Зенодор і ін.). Загальне вивчення І. з. почалося в 1697, коли Я. Бернуллі опублікував поставлену і частково вирішену їм І. з.: серед всіх кривих даної довжини знайти криву, для якої деяка величина, залежна від кривої, досягає мінімуму або максимуму. Систематичне дослідження І. з. було вперше проведено в 1732 Л. Ейлером . Приклад І. з.: серед кривих даної довжини l , що проходять через точки А і B , знайти криву, для якої площа криволінійної трапеції (заштрихована на мал. ) була б найбільшою. Площа криволінійної трапеції рівна
(1)
довжина дуги
(2)
Отже, завдання зводиться до знаходження найбільшого значення інтеграла (1) за наявності умов (2). Виявляється, що шукана крива — дуга кола.
Літ.: Лаврентьев М. А., Люстерник Л. А., Курс варіаційного числення, 2 видавництва, М-коди. — Л., 1950.
