Проектна геометрія , розділ геометрії, що вивчає властивості фігур, не змінних при проектних перетвореннях, наприклад при проектуванні. Такі властивості називаються проектними. Паралельність і перпендикулярність прямих, рівність відрізань і кутів — непроектні властивості, т.к. пересекающиеся прямі / і m можуть спроектуватися в паралельні /'' і m'' ( мал. 1 ), рівні відрізки AB і BC — в нерівні A''B'' і B''C'' ( мал. 2 ), і т.д. Проекція будь-якої лінії другого порядку є знову лінія другого порядку, так що приналежність класу ліній другого порядку — проектна властивість. Проектним є і гармонійне розташування 4 крапок на прямій.
При проектуванні точок однієї плоскості на іншу не кожна точка плоскості П має образ на плоскості П'' і не кожна точка П'' має прообраз П (див. Відображення ). Ця обставина привела до необхідності доповнення евклідової плоскості т.з. нескінченно видаленими (невласними) крапками (див. Нескінченно видалені елементи ). Таке приєднання приводить до утворення нового геометричного об'єкту — проектної плоскості.
Приєднуючи до прямої невласну крапку, отримують проектну пряму. До непаралельних прямих приєднуються різні крапки, до паралельних — одна і та ж. Доповнюючи плоскість невласної прямої, вважають, що на ній лежать невласні точки всіх прямих плоскості. Евклід плоскість, доповнена невласними елементами, називається (дійсною) проектною плоскістю. На ній через будь-яких дві різні крапки проходіт і притому лише одна пряма, і будь-які дві різні прямі мають і притому лише одну загальну крапку. Доповнення евклідової плоскості до проектної приводить до того, що проектування стає взаємно однозначним перетворенням.
Існують різні способи аксіоматичного завдання дійсній проектній плоскості. Найбільш поширена система аксіом виходить видозміною системи аксіом, запропонованою Д. Гільбертом для обгрунтування плоскої евклідової геометрії (див. Геометрія ). Проектна плоскість розглядається як сукупність елементів двох пологів: крапок і прямих, між якими встановлюються стосунки приналежності і порядку, що характеризуються відповідними аксіомами. Перша група аксіом відрізняється від відповідної групи аксіом евклідової геометрії тим, що кожні дві прямі на плоскості мають загальну крапку, і що на прямій є принаймні три різні крапки. У якості основного відношення порядку приймається розділеність двох пар крапок, лежачих на одній прямій, описуване другою групою аксіом. На мал. 3 пари точок З і D розділяє пару точок А і В , а пара А і З не розділяє пару В і D. Інколи до цих аксіом додаються безперервності аксіоми .
Існують інтерпретації проектної плоскості, що не залучають нескінченно видалених елементів. Наприклад. хай R 3 — евклідове простір і Про — крапка в нім. Позначимо через П безліч прямих, проходящих через Про ; крапкою в П назвемо евклідову пряму, проходящую через Про , а прямій в П — безліч евклідових прямих, проходящих через Про і лежачих в одній плоскість. Тоді П задовольняє аксіомам проектної плоскості.
Координати на проектній плоскості можна ввести, наприклад, таким чином. Хай П'' — проектна плоскість, відповідна евклідової плоскості П, і хай на П задана декартова система координат. Якщо М-код ( х, в ) — точка плоскості П те однорідними координатами точки М-коду називаються будь-які три числа ( x 1 , x 2 , x 3 ) такі, що x 1 /x 3 = х , x 2 / x 3 = в. Якщо ¥ — невласна точка плоскості П , то через неї проходить пучок паралельних прямих; однорідними координатами точки ¥ називаються будь-які три числа ( x 1 , x 2 , x 3 ), перші два з яких суть координати вектора, паралельного цим прямим, а x 3 = 0. Т. о., однорідними координатами точки з П'' є трійку чисел, не рівних одночасно нулю. Будь-яка пряма на проектній плоскості визначається лінійним однорідним рівнянням u 1 x 1 + u 2 x 2 + u 3 х 3 = 0 між однорідними координатами точок цієї прямої, і назад: всяке таке рівняння визначає пряму. Числа ( u 1 , u 2 , u 3 ), не рівні одночасно нулю, називаються однорідними координатами прямої. Рівняння невласної прямої має вигляд x 3 = 0. Якщо розглядати проектну плоскість П'' як пучок прямих в просторі, то однорідні координати отримують прозорий геометричний сенс — це координати якого-небудь направляючого вектора прямої, що змальовує точку проектної плоскості. Аналогічним чином вводяться координати і в проектному просторі.
Одним з чудових положень П. р. є принцип подвійності. Говорять, що крапка і пряма інцидентні, якщо крапка лежить на прямій (або пряма проходить через крапку). Тоді виявляється, що якщо вірна деяка пропозиція А про крапки і прямі проектної плоскості, сформульоване лише в термінах інцидентності між ними, то буде вірно і пропозиція В , подвійна пропозиції А , тобто пропозиція, яка виходить з А заміною слова «крапка» на слово «пряма», а слова «пряма» на слово «крапка». Див. Подвійності принцип .
Важливу роль в П. р. грає теорема Дезарга: якщо відповідні сторони двох трикутників ABC і A''B''C'' ( мал. 4 ), лежачих в одній плоскості, перетинаються в точках Р, Q, R, лежачих на одній прямій, то прямі, що сполучають відповідні вершини, перетинаються в одній точці Про , і назад: якщо прямі, що сполучають відповідні вершини трикутників ABC і A''B''C'' лежачих в одній плоскості, сходяться в одній крапці, то відповідні сторони цих трикутників перетинаються в крапках, лежачих на одній прямій. Зворотна теорема Дезарга подвійна прямій теоремі за принципом подвійності. Цікаво, що цю теорему не можна довести лише на основі аксіом інцидентності проектної плоскості, проте вона справедлива на будь-якій проектній плоскості, яка лежить в проектному просторі, - така, наприклад, дійсна проектна плоскість. Перший приклад недезаргової проектної плоскості дав Д. Гільберт.
Виконання теореми Дезарга необхідне і досить для введення координат на проектній плоскості синтетичним дорогою. Це робиться за допомогою так званого числення вурфов; воно полягає в тому, що на проектній прямій вводяться операції складання і множення крапок, що перетворюють її в тіло до. Побудова здійснюється за допомогою повних чотиривершинників — плоских фігур, складених чотирма крапками, з яких жодні три не лежать на одній прямій ( мал. 5 ), і шістьма прямими, що сполучають попарно ці крапки; така конфігурація дозволяє визначити чисто проектний поняття гармонійної четвірки крапок. Подвійним чином з використанням повних четирехсторонников встановлюються операції складання і множення в пучку прямих.
Властивості проектної прямої, як системи алгебри, визначаються, з одного боку, геометричними властивостями проектної плоскості, в якій вона розташована. Так, наприклад, комутативність тіла рівносильна виконанню т.з. аксіоми Паппа: якщо / і /'' — дві різні прямі, А , В , З і A'' , B'' , С'' — трійки різних точок прямих / і l'' відповідно, то точки пересічення прямих AB'' і A''B, AC'' і A''C, BC'' і B''C лежать на одній прямій; тіло до має відмінну від двох характеристику тоді і лише тоді, коли діагональні точки Р, Про, R повного чотиривершинника ABCD не лежать на одній прямій [ Р , Про , R визначаються як точки пересічення прямих AB і CD, AC і BD, AD і BC відповідно ( мал. 5 )]. З ін. сторони, залежно від вибору вихідного тіла до визначається різна проектна плоскість П до як сукупності класів пропорційних трійок елементів тіла до [за винятком трійки (0, 0, 0)]. Такий аналітичний підхід поряд з синтетичним з успіхом застосовується для вивчення проектних властивостей кривих і поверхонь. Аналогічні побудови можна провести і для проектного простору.
Лінією другого порядку на проектній плоскості називають об'єкт, визначуваний з точністю до множника пропорційності класом однорідних рівнянь другої міри:
a 11 ( x 1 ) 2 + a 22 ( x 2 ) 2 + a 33 ( x 3 ) 2 + 2 a 12 x 1 x 2 + 2 а 2 3 x 2 x 3 + 2a 31 x 3 x 1 = 0.
Всяка лінія, що не розпадається, другого порядку на дійсній проектній плоскості (овальна лінія) є або еліпс, або гіпербола, доповнена невласними точками її асимптот, або парабола, доповнена невласною точкою її діаметрів. Лінія, що розпадається, другого порядку складається з двох прямих (різних або співпадаючих) або однієї крапки. Нарешті, можлива лінія, що не розпадається, другого порядку, що не містить дійсних крапок. Цим вичерпується проектна класифікація всіх ліній другого порядку. Фігурою, подвійній лінії другого порядку, є пучок прямих другого класу — об'єкт, визначуваний класом пропорційних однорідних рівнянь другої міри в координатах ( u 1 , u 2 , u 3 ) . Що огинає невиродженого пучка прямих є лінія другого порядку.
Якщо на проектній плоскості задано п'ять крапок, з яких жодні чотири не лежать на одній прямій, то існує і притому лише одна лінія другого порядку, що проходить через ці крапки. Точки пересічення протилежних сторін шестикутника, вписаного в лінію другого порядку, лежать на одній прямій (теорема Паськаля) ( мал. 6 ). В разі лінії, що розпадається, другого порядку ця теорема зводиться до твердження, що формулюється аксіомою Паппа. Подвійній теоремі Паськаля є теорема Бріаншона: діагоналі, що сполучають протилежні сторони шестісторонника, описаного біля овальної лінії другого порядку, проходять через одну крапку ( мал. 7 ). Див. також Полюси і поляри .
Основи П. р. були закладені в 17 ст Же. Дезаргом (у зв'язку з розвитком ним вчення про перспективу) і Б. Паськалем (у зв'язку з вивченням ним деяких властивостей конічних перетинів) Велике значення для подальшого розвитку П. р. мали роботи Р. Монжа (2-я половина 18 — почало 19 вв.(століття)). Як самостійна дисципліна П. р. була викладена Ж. Понселе (почало 19 ст). Заслуга Понселе полягала у виділенні проектних властивостей фігур в окремий клас і встановленні відповідностей між метричними і проектними властивостями цих фігур. До цього ж періоду відносяться роботи французького математика Ж. Бріаншона. Подальше розвиток П. р. отримала в працях швейцарського математика Я. Штейнера і французького математика М. Пустуючи. Велику роль в розвитку П. р. зіграли роботи німецького математика До. Штаудта. Його роботами були намічені також контури аксіоматичної побудови П. р. Всі ці геометри прагнули доводити теореми П. р. синтетичним методом, поклавши в основу викладу проектні властивості фігур. Аналітичний напрям в П. р. був намічений роботами А. Мебіуса . Вплив на розвиток П. р. зробили роботи Н. І. Лобачевського по створенню нєєвклідової геометрія, що дозволила надалі А. Келі і Ф. Клейну розглянути різні геометричні системи з точки зору П. р. Розвиток аналітичних методів звичайною П. р. і побудова на цій базі комплексною П. р. (німецький математик Е. Штуді, Е. Картан ) поставили завдання про залежність тих або інших проектних властивостей від того тіла, над яким побудована геометрія. У рішенні цього питання великих успіхів добилися А. Н. Колмогоров і Л. С. Понтрягин .
Деякі положення і факти П. р. застосовуються в номографії, в теорії статистичних рішень, в квантовій теорії поля і в конструюванні друкарських схем (через теорію графів).
Літ.: Вольберг О. А., Основні ідеї проектної геометрії, 3 видавництва, М. — Л., 1949; Глагольов Н. А., Проектна геометрія, 2 видавництва, М-коди.,1963; Ефімов Н. Ст, Вища геометрія, 5 видавництво, М., 1971; Хартсхорн Р., Основи проектної геометрії, пер.(переведення) з англ.(англійський), М., 1970; Veblen О., Young J. W., Projective geometry, v. 1—2, Boston — N. Y., 1910—18.
По матеріалах однойменної статті з 2-го видання БСЕ.
