Координати [від латів.(латинський) co (cum) — спільно і ordinatus — впорядкований, визначений], числа, завданням яких визначається положення крапки на плоскості, на будь-якій поверхні або в просторі. Що першими увійшли до систематичного вживання До. є астрономічні і географічні До. — широта і довгота, що визначають положення крапки на небесній сфері або на поверхні земної кулі (див. Небесні координати, Географічні координати ) . В 14 ст французький математик Н. Орем користувався До. на плоскості для побудови графіків, називаючи довготою і широтою те, що тепер називають абсцисою і ординатою. Більш систематично До. стали застосовуватися до питань геометрії на плоскості в 17 ст Заслуга з'ясування всього значення методу До., що дозволяє систематично перекладати завдання геометрії мовою математичного аналізу і, назад, тлумачити геометрично факти аналізу, належить французькому ученому Р. Декарту. Окрім До. крапки, розглядають також До. прямої, плоскості і інших геометричних об'єктів. У теоретичній механіці вживають До. механічних систем — числа, що визначають положення механічної системи (наприклад, деякого твердого тіла) в кожен момент часу.
Координати точки на плоскості . Аффінниє, або загальні декартові, До. крапки на плоскості отримують, вибираючи точку Про (почало До.) і два не лежачих на одній прямій вектора і, витікаючих з точки Про . Положення точки Р визначається (у вибраній системі До.) двома К.: абсцисою
і ординатою
,
де XP паралельно OB і YP паралельно ОА. В окремому випадку, коли вектори і перпендикулярні і мають одну і ту ж довжину, отримують найбільш споживані прямокутні К. Еслі кут між і довільний, але довжини цих векторів однакові, то отримують ті косокутні До., розглядом яких обмежувався сам Декарт (часто лише їх і називають декартовими, зберігаючи для загальних декартових До. назва аффінниє До.).
Полярні До. крапки на плоскості отримують, вибираючи крапку Про (полюс). промінь ON, що виходить з неї, і одиницю виміру довжин. Координатами точки Р служать відстань r = OP н кут j = ÐNOP. Щоб дістати можливість поставити у відповідність кожній точці плоскості Р пару чисел ( r, j ), досить розглядати r і j , підлеглі нерівностям 0 £ r <¥, 0£ j <2. За винятком точки Про , для якої r = 0, а кут j не визначений, відповідність між точками Р, відмінними від Про , і парами ( r, j ), підлеглими вказаним умовам, взаємно однозначно.
З інших спеціальних систем До. на плоскості слід зазначити також еліптичні координати .
В разі аффінних До. лінії х= const утворюють пучок прямих, паралельних осі Oy , а лінії в = const — інший пучок прямих, паралельних осі Ox , через кожну точку плоскості Р (х 0 , у 0 ) проходіт одна пряма першого пучка ( х = x 0 ) і одна пряма другого пучка ( в = y 0 ) . В разі полярних До. лінії r = const є колами, а лінії j = const — променями, що виходять з початкової точки Про ; через кожну точку Р , відмінну від Про , проходіт рівно по одній лінії кожного з двох сімейств; відмітки r 0 і j 0 цих двох ліній і є До. точки Р . У загальнішому випадку можна розглянути в якій-небудь області G плоскості дві функції точки u (Р) і u(P) такого роду, що кожна лінія u (Р) = const перетинається з кожною лінією сімейства u(P)= const в межах області G не більше ніж в одній крапці. Очевидно, що в цьому випадку числа u (Р) і u(Р) однозначно визначають положення точки Р в області G , тобто є До. точки Р в цій області; лінії, визначувані рівняннями u = const або u = const, називають при цьому координатними лініями.
Криволінійні координати на поверхні. Викладена ідея застосовна без всяких змін і до введення криволінійних До. на довільній поверхні. Наприклад, для випадку довготи j і широти q на сфері лініями j = const є меридіани, а лініями q = const — широтні круги, розташування яких всім добре відомо з елементів географії. Криволінійні, або, як їх інакше називають, гауси, До. на довільній поверхні є основним апаратом диференціальної геометрії поверхонь.
Однорідні координати на плоскості. Евклід плоскість, доповнена нескінченно видаленими елементами, може розглядатися з проектної точки зору як замкнута поверхня (див. Проектна плоскість ) , на якою нескінченно видалені крапки не грають якої-небудь особливої ролі. На всій проектній плоскості введення До., що характеризують положення крапки парою чисел (u, u) із збереженням взаємної однозначності і безперервності відповідності, неможливо. Замість цього користуються однорідними К. Прі цьому кожній крапці ставляться у відповідність не пари, а трійки чисел (x 1 , x 2 , x 3 ), причому двом трійкам (x 1 , x 2 , x 3 ) і (x 1 ’ , x 2 ’ , x 3 ’ ) відповідає одна і та ж крапка лише тоді, коли вхідні в них числа пропорційні, тобто існує такий множник l, що
x 1 ’ = lx 1 , x 2 ’ = lx 2 , x 3 ’ = lx 3 .
Такі системи координат грають велику роль в геометрії.
Координати точки в просторі. Аффінниє, або загальні декартові, До. у тривимірному просторі вводяться завданням точки Про і три вектори,,, не лежачих в одній плоскості. Для здобуття До. х, в, z точки Р вектор представляють у вигляді
= xex+ ує в +ze z .
В простому випадку прямокутних До. вектори e x , е в , e z попарно перпендикулярні і мають одиничну довжину. У просторі можливі два істотно різних типа систем прямокутних К.: права система (де е в і e z лежать в плоскості креслення, а e x направлений вперед, до читача) і ліва система (де e x і e z лежать в плоскості креслення, а е в направлений до читача).
В просторі користуються також системами криволінійних До., загальна схема яких така: у якій-небудь області G простору розглядаються три функції точки u (P), u(P), w(P), підлеглі умові, щоб через кожну точку Р області G проходіла одна поверхня сімейства u = const , одна поверхня сімейства u = const і одна поверхня сімейства w = const . Тим самим кожній крапці ставляться у відповідність три числа (u, u, w) — її До. Поверхні, визначувані рівняннями u = const, або u = const, або w = const , називають координатними.
В додатках (до механіки, математичної фізики і пр.) найбільш споживані деякі спеціальні системи криволінійних До., а саме: сферичні координати, циліндрові координати .
Координати прямої, плоскість і т. п. Принцип подвійності (див. Подвійності принцип ), що встановлює равноправность крапок і прямих в геометрії двох вимірів і равноправность крапок і плоскості в геометрії трьох вимірів, підказує ту думку, що за допомогою особливих До. можуть бути визначені положення прямих і плоскості. Дійсно, якщо, наприклад, в прямокутних До. рівняння прямої (що не проходить через початок До.) приведене до вигляду ux + uy + 1 = 0, те числами u і u ( u = - 1 / а , u = - 1 / b , де а і b суть «відрізки», що відсікаються прямою на осях) сповна визначається положення прямої; можна прийняти ( u, u ) . (так звані тангенціальні До.) прямій лінії. Симетричність рівняння ux + uy + 1 = 0 відносно пар (х, в) і (u, u) є аналітичним вираженням принципу подвійності. Сповна аналогічно випадкам n = 2 (плоскість, поверхня) і n = 3 (тривимірний простір) вживання До. у n-мірному просторі.
