Координаты [от лат.(латинский) co (cum) — совместно и ordinatus — упорядоченный, определённый], числа, заданием которых определяется положение точки на плоскости, на любой поверхности или в пространстве. Первыми вошедшими в систематическое употребление К. являются астрономические и географические К. — широта и долгота, определяющие положение точки на небесной сфере или на поверхности земного шара (см. Небесные координаты, Географические координаты). В 14 в. французский математик Н. Орем пользовался К. на плоскости для построения графиков, называя долготой и широтой то, что теперь называют абсциссой и ординатой. Более систематически К. стали применяться к вопросам геометрии на плоскости в 17 в. Заслуга выяснения всего значения метода К., позволяющего систематически переводить задачи геометрии на язык математического анализа и, обратно, истолковывать геометрически факты анализа, принадлежит французскому учёному Р. Декарту. Кроме К. точки, рассматривают также К. прямой, плоскости и других геометрических объектов. В теоретической механике употребляют К. механических систем — числа, определяющие положение механической системы (например, некоторого твёрдого тела) в каждый момент времени.
Координаты точки на плоскости. Аффинные, или общие декартовы, К. точки на плоскости получают, выбирая точку О (начало К.) и два не лежащих на одной прямой вектора и, исходящих из точки О. Положение точки Р определяется (в выбранной системе К.) двумя К.: абсциссой
и ординатой
,
где XP параллельно OB и YP параллельно ОА. В частном случае, когда векторы и перпендикулярны и имеют одну и ту же длину, получают наиболее употребительные прямоугольные К. Если угол между и произволен, но длины этих векторов одинаковы, то получают те косоугольные К., рассмотрением которых ограничивался сам Декарт (часто только их и называют декартовыми, сохраняя для общих декартовых К. название аффинные К.).
Полярные К. точки на плоскости получают, выбирая точку О (полюс). выходящий из неё луч ON и единицу измерения длин. Координатами точки Р служат расстояние r = OP н угол j = ÐNOP. Чтобы получить возможность поставить в соответствие каждой точке плоскости Р пару чисел (r, j), достаточно рассматривать r и j, подчинённые неравенствам 0 £r<¥, 0£j<2. За исключением точки О, для которой r= 0, а угол j не определён, соответствие между точками Р, отличными от О, и парами (r, j), подчинёнными указанным условиям, взаимно однозначно.
В случае аффинных К. линии х= const образуют пучок прямых, параллельных оси Oy, а линии у = const — другой пучок прямых, параллельных оси Ox,через каждую точку плоскости Р (х0, у0) проходит одна прямая первого пучка (х = x0) и одна прямая второго пучка (у = y0). В случае полярных К. линии r = const являются окружностями, а линии j = const — лучами, выходящими из начальной точки О; через каждую точку Р, отличную от О, проходит ровно по одной линии каждого из двух семейств; отметки r0 и j0 этих двух линий и являются К. точки Р. В более общем случае можно рассмотреть в какой-либо области G плоскости две функции точки u (Р) и u(P) такого рода, что каждая линия u (Р) = const пересекается с каждой линией семейства u(P) = const в пределах области G не более чем в одной точке. Очевидно, что в этом случае числа u (Р) и u(Р) однозначно определяют положение точки Р в области G, т. е. являются К. точки Р в этой области; линии, определяемые уравнениями u = const или u = const, называют при этом координатными линиями.
Криволинейные координаты на поверхности. Изложенная идея применима без всяких изменений и к введению криволинейных К. на произвольной поверхности. Например, для случая долготы j и широты q на сфере линиями j = const являются меридианы, а линиями q = const — широтные круги, расположение которых всем хорошо известно из элементов географии. Криволинейные, или, как их иначе называют, гауссовы, К. на произвольной поверхности являются основным аппаратом дифференциальной геометрии поверхностей.
Однородные координаты на плоскости. Евклидова плоскость, дополненная бесконечно удалёнными элементами, может рассматриваться с проективной точки зрения как замкнутая поверхность (см. Проективная плоскость), на которой бесконечно удалённые точки не играют какой-либо особой роли. На всей проективной плоскости введение К., характеризующих положение точки парой чисел (u, u) с сохранением взаимной однозначности и непрерывности соответствия, невозможно. Вместо этого пользуются однородными К. При этом каждой точке ставятся в соответствие не пары, а тройки чисел (x1, x2, x3), причём двум тройкам (x1, x2, x3) и (x1’, x2’, x3’) соответствует одна и та же точка только тогда, когда входящие в них числа пропорциональны, т. е. существует такой множитель l, что
x1’ = lx1, x2’ = lx2, x3’ = lx3.
Такие системы координат играют большую роль в геометрии.
Координаты точки в пространстве. Аффинные, или общие декартовы, К. в трёхмерном пространстве вводятся заданием точки О и трёх векторов, , , не лежащих в одной плоскости. Для получения К. х, у, z точки Р вектор представляют в виде
= xex+ уеу+zez.
В простейшем случае прямоугольных К. векторы ex, еу, ez попарно перпендикулярны и имеют единичную длину. В пространстве возможны два существенно различных типа систем прямоугольных К.: правая система (где еу и ez лежат в плоскости чертежа, а ex направлен вперёд, к читателю) и левая система (где ex и ez лежат в плоскости чертежа, а еу направлен к читателю).
В пространстве пользуются также системами криволинейных К., общая схема которых такова: в какой-либо области G пространства рассматриваются три функции точки u (P), u(P), w(P), подчинённые условию, чтобы через каждую точку Р области G проходила одна поверхность семейства u = const, одна поверхность семейства u = const и одна поверхность семейства w = const. Тем самым каждой точке ставятся в соответствие три числа (u, u, w) — её К. Поверхности, определяемые уравнениями u = const, или u = const, или w = const, называют координатными.
В приложениях (к механике, математической физике и пр.) наиболее употребительны некоторые специальные системы криволинейных К., а именно: сферические координаты, цилиндрические координаты.
Координаты прямой, плоскости и т. п.Принцип двойственности (см. Двойственности принцип), устанавливающий равноправность точек и прямых в геометрии двух измерений и равноправность точек и плоскостей в геометрии трёх измерений, подсказывает ту мысль, что с помощью особых К. могут быть определены положения прямых и плоскостей. Действительно, если, например, в прямоугольных К. уравнение прямой (не проходящей через начало К.) приведено к виду ux + uy + 1 = 0, то числами u и u(u = -1/a, u = -1/b, где а и b суть «отрезки», отсекаемые прямой на осях) вполне определяется положение прямой; можно принять (u, u)за К. (так называемые тангенциальные К.) прямой линии. Симметричность уравнения ux + uy + 1 = 0 относительно пар (х, у) и (u, u) является аналитическим выражением принципа двойственности. Вполне аналогично случаям n = 2 (плоскость, поверхность) и n = 3 (трёхмерное пространство) употребление К. в n-мepном пространстве.
