Проектне перетворення , взаємне однозначне відображення проектній плоскості або проектного простору в себе, при якому крапки, лежачі на прямій, переходять в крапки, також лежачі на прямій (тому П. п. інколи називається колінеацією). П. п. проектної прямої називається взаємно однозначне відображення її в себе, при якому зберігається гармонійне має в своєму розпорядженні крапок цю пряму. Простим і в той же час найбільш важливим для додатків прикладом П. п. є гомологія — П. п., що залишає на місці пряму і крапку поза нею. Прикладом П. п. простору є перспектива, тобто проектування фігури F , лежачою в плоскості П, з точки S у фігуру F'' , розташовану в плоскості П'' , будь-яке П. п. виходить кінцевою послідовністю перспектив. П. п. утворюють групу, основним інваріантом якої є подвійне відношення чотирьох точок прямої. Теорії інваріантів груп П. п., що залишають на місці деяку фігуру, є метрична геометрія (див. Проектна метрика ).
Основна теорема о П. п. проектної плоскості полягає в тому, що які б не були чотири точки А , В , З, D плоскості П , з яких жодні три не лежать на одній прямій, і чотири точки A'' , B'' , C'' , D'' тій же плоскість, з якої жодні три також не лежать на одній прямій, існує і притому лише одне П. п., яке точки А , В , З , D переводить відповідно в точки A'' , B'' , C'' , D''. Ця теорема застосовується в номографії і аерофотозніманні. Аналогічна теорема має місце і в проектному просторі: там П. п. визначається п'ятьма крапками, з яких жодні чотири не лежать в одній плоскості. Ета теорема еквівалентна аксіомі Паппа.
В однорідних координатах П. п. виражається однорідним лінійним перетворенням, визначник матриці якого не дорівнює нулю. Розглядаються також П. п. евклідової плоскості або простору; у декартових координатах вони виражаються лінійними для дробу функціями причому властивість взаємної однозначності втрачається.
