Подвійне відношення (складне, або ангармонічне) чотирьох точок M 1 , M 2 , М-код з , M 4 на прямій ( мал. 1 ), число, що позначається символом ( M 1 M 2 M 3 M 4 ) і рівне
При цьому відношення M 1 M 3 /m 3 M 2 вважається позитивним, якщо напрями відрізань M 1 M 3 і M 3 M 2 збігаються, і — негативним при різних напрямах. Д. о. залежить від порядку нумерації крапок, який може відрізнятися від порядку дотримання крапок на прямій. Поряд з Д. о. чотирьох крапок розглядається Д. о. чотири прямих, що проходять через точку О. Ето відношення позначається символом ( m 1 m 2 m 3 m 4 ) . Воно рівне
причому кут ( m i m j ) між прямими m i і m j ) розглядається з знаком.
Якщо точки M 1 , M 2 , М-код з , M 4 лежать на прямих m 1 , m 2 , m 3 , m 4 ( мал. 1 ), то
( M 1 M 2 M 3 M 4 ) = ( m 1 m 2 m 3 m 4 ),
тому, якщо точки M 1 , M 2 , М з , M 4 і M’ 1 , M 2 ’, М-код з ’, M 4 ’ отримані пересіченням однієї четвірки прямих m 1 , m 2 , m 3 , m 4 (мал. 1), то ( M 1 ’, M 2 ’, М-код з ’, M 4 ’) = ( M 1 M 2 M 3 M 4 ).
Якщо ж прямі m 1 , m 2 , m 3 , m 4 і m 1 ’, m 2 ’, m з ’, m 4 ’ проектують одну четвірку точек M 1 , M 2 , М з , M 4 ( мал. 2 ), то ( m 1 ’ m 2 ’ m з ’ m 4 ’) = ( m 1 m 2 m 3 m 4 ).
Д. о. не міняється також і при будь-яких проектних перетвореннях, тобто є інваріантом таких перетворень, і тому Д. о. грають важливу роль в проектній геометрії . Особливо важливу роль грають четвірки крапок і прямих, для яких Д. о. рівне — 1. Такі четвірки називають гармонійними (див. Гармонійне розташування . ) .
