Інваріанти (від латів.(латинський) invarians, родовий відмінок invariantis — що не змінюється), числа, вирази алгебри і т. п., пов'язані з яким-небудь математичним об'єктом і такі, що залишаються незмінними при певних перетвореннях цього об'єкту або системи відліку, в якій описується об'єкт. Щоб охарактеризувати яку-небудь геометричну фігуру і її положення за допомогою чисел, зазвичай доводиться вводити деяку допоміжну систему відліку або систему координат. Отримані в такій системі числа x 1 , x 2 ..., x n характеризують не лише геометричну фігуру, що вивчається, але і її відношення до системи відліку, і при зміні цієї системи фігурі відповідатимуть інші числа x ¢ 1 , х ¢ 2 ..., х ¢ n . Тому якщо значення якого-небудь вираження f ( x 1 , x 2 ..., x n ) характерний для фігури самої по собі, то воно не повинне залежати від системи відліку, тобто повинне виконуватися співвідношення
f ( x 1 , x 2 ..., x n ) = f ( x ¢ 1 , x ¢ 2 ..., x ¢ n ). (1)
Всі вирази, що задовольняють співвідношенню (1), називаються інваріантами. Наприклад, положення відрізання M 1 M 2 на плоскості визначається в прямокутній системі координат двома парами чисел x 1 , в 1 і x 2 , в 2 — координатами його кінців M 1 і M 2 . При перетворенні координатної системи (шляхом зсуву її початку і повороту осей) точки M 1 і M 2 отримують інші координати x ¢ 1 , в ¢ 1 і x ¢ 2 , в ¢ 2 , проте ( x 1 — x 2 ) 2 + ( в 1 — в 2 ) 2 = ( x ¢ 1 — x ¢ 2 ) 2 + ( в ¢ 1 — в ¢ 2 ) 2 . Тому вираження ( x 1 — x 2 ) 2 + ( в 1 — в 2 ) 2 є І. перетворення прямокутних координат. Геометричний сенс цього І. ясний: це квадрат довжини відрізання M 1 M 2 .
Крива 2-го порядку в прямокутній системі координат задається рівнянням 2-ої міри
ах 2 + 2 bxy + су 2 + 2dx + 2ey + f = 0, (2)
коефіцієнти якого можна розглядати як числа, що визначають криву. При перетворенні прямокутних координат ці коефіцієнти змінюються, але вираження зберігає своє значення і, отже, служить І. кривій (2). При розгляді кривих і поверхонь вищих порядків виникає аналогічне загальніше завдання.
Поняття І. уживалося ще німецьким математиком О. Гессе (1844), але систематичний розвиток теорія І. отримала в англійського математика Дж. Сильвестра (1851—52), що запропонував і термін «І.». Протягом 2-ої половини 19 ст теорія І. була однією з математичних теорій, що найбільш розроблялися. В процессе розвитку цієї класичної теорії І. головні зусилля дослідників стали поступово зосереджуватися довкола вирішення декількох «основних» проблем, найбільш відома з яких формулювалася таким чином. Розглядаються І. системи форм, що є цілими раціональними функціями від коефіцієнтів цих форм. Потрібний довести, що для І. кожної кінцевої системи форм існує кінцевий базис, тобто кінцева система цілих раціональних І., через яких кожен інший цілий раціональний І. виражається у вигляді цілої раціональної функції. Це доказ для проектних І. було дано в кінці 19 ст німецьким математиком Д. Гільбертом.
Вельми плідний підхід до поняття І. виходить, якщо системи чисел x 1 , x 2 ..., x n і x ¢ 1 , х ¢ 2 ..., х ¢ n розглядати не як координати однієї і тієї ж точки відносно різних координатних систем, а як координати різних крапок в одній і тій же системі координат, отриманих одна з іншої рухом. Рухи простору утворюють групу . І. відносно змін систем координат є також І. відносно групи рухів. Звідси шляхом безпосереднього узагальнення виходить поняття І. будь-якої групи перетворень. Теорія таких І. виявляється вельми тісно пов'язаною з теорією груп і особливо з теорією представлень груп.
Поняття І. групи перетворень лежить в основі відомої систематизації геометричних дисциплін по групах перетворень, І. яких вивчаються в цих дисциплінах. Наприклад, І. групи ортогональних перетворень вивчаються в звичайній евклідової геометрії, І. аффінних перетворень — в аффінной, І. проектних — в проектній. Вельми загальну групу перетворень складають всі взаємно однозначні і безперервні перетворення. Вивчення І. цих так званих топологічних перетворень складає предмет топології . У диференціальній геометрії основне значення мають диференціальні І., розвиток теорії яких привів до створення тензорного числення .
В 20 ст глибокий вплив на розвиток теорії І., зокрема на розвиток тензорного числення, надала теорія відносності, в якій інваріантність фізичних законів відносно групи рухів стає одним з керівних принципів. Див. також Інваріантність .
Літ.: Погорелов А. Ст. Аналітична геометрія, 3 видавництва, М., 1968; Широков П. А., Тензорний аналіз, ч. 1, М-код.—Л., 1934; Гуревіч Р. Би., Основи теорії інваріантів алгебри, М-код.—Л., 1948; Вейль Р., Класичні групи, їх інваріанти і вистави, пер.(переведення) з англ.(англійський), М., 1947.
