Топологія (від греч.(грецький) tоpos — місце і ¼логия ) — частина геометрії, присвячена вивченню феномену безперервності (що виражається, наприклад, в понятті межі). Різноманітність проявів безперервності в математиці і широкий спектр різних підходів до її вивчення привели до розпаду єдиною Т. на ряд відділів («загальна Т.», «алгебра Т.» і ін.), що відрізняються друг від друга по предмету і методу вивчення і фактично вельми мало між собою зв'язаних.
I. Загальна топологія
Частина Т., орієнтована на аксіоматичне вивчення безперервності, називається загальною Т. Наряду з алгеброю загальна Т. складає основу сучасного теоретико-множинного методу в математиці.
Аксіоматично безперервність можна визначити багатьма (взагалі кажучи, нерівносильними) способами. Загальноприйнята аксіоматика, що грунтується на понятті відкритої безлічі. Топологічною структурою, або топологією, на безлічі Х називають таке сімейство його підмножин, званих відкритою безліччю, що: 1) порожня безліч Æ і всі Х відкриті; 2) об'єднання будь-якого числа і пересічення кінцевого числа відкритої безлічі відкрите. Безліч, на якій задана топологічна структура називаюттопологічним простором . В топологічному просторі Х можна визначити всі основні поняття елементарного аналізу, пов'язані з безперервністю. Наприклад, околицею точки x Î X називають довільну відкриту безліч, що містить цю крапку; безліч A Ì X називають замкнутим, якщо його доповнення Х \ А відкрито; замиканням безлічі А називають найменшу замкнуту безліч, що містить A ; якщо це замикання збігається з X , то А називають усюди щільним в Х і так далі
За визначенням Æ і Х є одночасно замкнутою і відкритою безліччю. Якщо в Х немає іншої безлічі, одночасно замкнутої і відкритої, то топологічний простір Х називають зв'язним. Наочний зв'язний простір складається з одного «шматка», а незв'язне — з декількох.
Будь-яка підмножина А топологічного простору Х володіє природною топологічною структурою, що складається з пересічень з А відкритої безлічі з X . Забезпечене цією структурою А називають підпростором простору X . Кожне метричний простір стає топологічним, якщо за його відкриту безліч прийняти безліч, що містить разом з довільною крапкою деяку її e-околіця (куля радіусу e з центром в цій крапці). Зокрема, будь-яка підмножина n -мерного евклідова простори є топологічним простором. Теорія таких просторів (під назвою «Геометричною Т.») і теорія метричних просторів включаються за традицією в загальну Т.
Геометрична Т. досить чітко розпадається на дві частини: вивчення підмножин довільної складності, підлеглих тим або іншим обмеженням загального характеру (прикладом є так звана теорія континууму, тобто зв'язної обмеженої замкнутої безлічі), і вивчення способів, якими в можуть бути вкладені такі прості топологічні простори, як сфера, куля і тому подібне (вкладення в, наприклад, сфер можуть бути дуже складно влаштованими).
Відкритим покриттям топологічного простору Х називають сімейство його відкритої безлічі, об'єднанням якого є все X . Топологічний простір Х називають компактним (у іншій термінології —бікомпактним), якщо будь-яке його відкрите покриття містить кінцеве число елементів, також створюючих покриття. Класична теорема Гейнеа — Бореля стверджує, що будь-яка обмежена замкнута підмножина компактна. Виявляється, що всі основні теореми елементарного аналізу про обмежену замкнуту безліч (наприклад, теорема Вейерштраса про те, що на такій безлічі безперервна функція досягає свого найбільшого значення) справедливі для будь-яких компактних топологічних просторів. Це визначає фундаментальну роль, яку грають компактні простори в сучасній математиці (особливо у зв'язку з теоремами існування). Виділення класу компактних топологічних просторів з'явилося одним з найбільших досягнень обший Т., що мають загальноматематичне значення.
Відкрите покриття { V b } називають вписаним в покриття { U а }, якщо для будь-якого b існує а таке, що V b Ì U а . Покриття { V b } називають локально кінцевим, якщо кожна точка х Î Х володіє околицею, пересічною лише з кінцевим числом елементів цього покриття. Топологічний простір називають паракомпактним, якщо в будь-яке його відкрите покриття можна вписати локально кінцеве покриття. Клас паракомпактних просторів є прикладом класів топологічних просторів, так званих умов типа компактності, що виходять накладенням. Цей клас дуже широкий, зокрема він містить всі метризовані топологічні простори, тобто простори X , в яких можна ввести таку метрику r, що Т., породжена r в X, збігається з Т., заданою в X .
Кратністю відкритого покриття називають найбільше число до таке, що знайдеться до його елементів, що мають непорожнє пересічення. Найменше число n, що володіє тією властивістю, що в будь-яке кінцеве відкрите покриття топологічного простору Х можна вписати відкрите покриття кратності £ n + 1, позначається символом dim Х і називається розмірністю X . Ця назва виправдана тим, що в елементарно-геометричних ситуаціях dim Х збігається з розмірністю, що зазвичай розуміється, наприклад dim = n . Можливі і ін. числові функції топологічного простору X , що відрізняються від dim X , але в простих випадках співпадаючі з dim X . Їх вивчення складає предмет загальної теорії розмірності — найбільш геометрично орієнтованій частині загальної Т. Только в рамках цієї теорії удається, наприклад, дати чітке і досить загальне визначення інтуїтивного поняття геометричної фігури і, зокрема, поняття лінії, поверхні і тому подібне
Важливі класи топологічних просторів виходять накладенням так званих аксіом віддільності. Прикладом є так звана аксіома Хаусдорфа, або аксіома T 2 що вимагає, щоб будь-які дві різні крапки володіли околицями, що не перетиналися. Топологічний простір, що задовольняє цій аксіомі, називається хаусдорфовим, або віддільним. Деякий час в математичній практиці зустрічалися майже виключно хаусдорфови простори (наприклад, будь-який метричний простір хаусдорфово). Проте роль нехаусдорфових топологічних просторів в аналізі і геометрії постійно зростає.
Топологічні простори, що є підпросторами хаусдорфових (бі) компактних просторів, називаються сповна регулярними або тіхоновськимі. Їх теж можна охарактеризувати деякою аксіомою віддільності, а саме: аксіомою, що вимагає, щоб для будь-якої точки x 0 Х і що не будь-якого містить її замкнутої безлічі F Х існувала безперервна функція g : Х ® [0, 1], рівна нулю в x 0 і одиниці на F .
Топологічні простори, що є відкритими підпросторами хаусдорфових компактних, називаються локально компактними просторами. Вони характеризуються (у класі хаусдорфових просторів) тим, що кожна їх крапка володіє околицею з компактним замиканням (приклад: евклідовий простір). Будь-яке такий простір доповнюється однією крапкою до компактного (приклад: приєднанням однієї крапки з плоскості виходить сфера комплексного змінного, а з — сфера S n ).
Відображення f : X ® Y топологічне простори Х в топологічний простір Y називають безперервним відображенням, якщо для будь-якої відкритої безлічі V Ì Y безліч f —1 ( V ) відкрито в X . Безперервне відображення називають гомеоморфізмом, якщо воно взаємне однозначно і зворотне відображення f —1 : Y ® X безперервно. Таке відображення встановлює взаємно однозначну відповідність між відкритою безліччю топологічних просторів Х і Y , перестановочне з операціями об'єднання і пересічення безлічі. Тому всі топологічні властивості (тобто властивості, що формулюються в термінах відкритої безлічі) цих просторів одні і ті ж, і з топологічної точки зору гомеоморфні топологічні простори (тобто простори, для яких існує хоч би один гомеоморфізм Х ® Y ) слід вважати однаковими (подібно до того як в евклідової геометрії однаковими вважаються фігури, які можна поєднати рухом). Наприклад, гомеоморфни («топологічно однакові») коло і кордон квадрата, шестикутника і тому подібне Взагалі будь-які дві прості (що не мають подвійних крапок) замкнуті лінії гомеоморфни. Навпаки, коло не гомеоморфна прямої (бо видалення крапки не порушує зв'язності кола, але порушує зв'язність прямої; з тієї ж причини пряма не гомеоморфна плоскість, а коло не гомеоморфна «вісімці»). Коло не гомеоморфна також і плоскість (викиньте не одну, а дві крапки).
Хай { Х а } — довільне сімейство топологічних просторів. Розглянемо безліч Х всіх сімейств вигляду { х а }, де x а X а (прямий твір безлічі X а ). Для будь-якого а формула визначає деяке відображення (називається проекцією). Взагалі кажучи, в Х можна ввести багато топологічних структур, відносно яких всі відображення p а безперервні. Серед цих структур існує найменша (тобто що міститься в будь-якій такій структурі). Забезпечене цією топологічною структурою безліч Х називається топологічним твором топологічних просторів Х а і позначається символом ПХ а (а в разі кінцевого числа співмножників — символом X 1 ´ ... ´ X n ). У явному вигляді відкриту безліч простору Х можна описати як об'єднання кінцевих пересічень всієї безлічі вигляду, де U а відкрито в X а . Топологічний простір Х володіє наступною чудовою властивістю універсальності, що однозначно (з точністю до гомеоморфізма) його характеризує: для будь-якого сімейства безперервних відображень f а : Y ® X а існує єдине безперервне відображення f : Y ® X , для якого при всіх а. Простір є топологічним твором n екземплярів числовою прямою. Одній з найважливіших теорем загальною Т. є твердження про те, що топологічний твір компактних топологічних просторів компактний.
Якщо Х — топологічний простір, а Y — довільна безліч і якщо задано відображення p : X ® Y простору Х на безліч Y (наприклад, якщо Y є фактормножеством Х по деякому відношенню еквівалентності, а p є природною проекцією, що зіставляє з кожним елементом х Î Х його клас еквівалентності), то можна ставити питання про введення в Y топологічної структури, відносно якої відображення p безперервно. Найбільш «багату» (відкритою безліччю) таку структуру отримують, вважаючи відкритою безліччю в Y все ті безліч V Ì Y, для яких безліч f ‑1 ( V ) Ì Х відкрито в X . Забезпечене цією топологічною структурою безліч Y називається факторпространством топологічного простору Х (по відношенню до p ). Воно володіє тією властивістю, що довільне відображення f : Y ® Z тоді і лише тоді безперервно, коли безперервно відображення : X ® Z. Безперервне відображення p : X ® Y називається факторним, якщо топологічний простір Y є по відношенню до p факторпространством топологічного простору X . Безперервне відображення p : X ® Y називається відкритим, якщо для будь-якої відкритої безлічі U Ì Х безліч p(U) відкрито в Y , і замкнутим, якщо для будь-якої замкнутої безлічі F Ì Х безліч p(F) замкнута в Y . Як відкриті, так і замкнуті безперервні відображення f : Х ® Y , для яких f(X) = Y , є факторними.
Хай Х — топологічний простір, А — його підпростір і f : A ® Y — безперервне відображення. Передбачаючи топологічні простори Х і Y що не перетинаються, введемо в їх об'єднанні Х È Y топологічну структуру, вважаючи відкритою безліччю об'єднання відкритої безлічі з Х і Y . Далі, введемо в просторі Х È Y найменше відношення еквівалентності, в якому а ~ f(a) для будь-якої точки а Î А . Відповідне факторпространство позначається символом X È f Y , і про нього говорять, що воно отримане приклеюванням топологічного простору Х до топологічного простору Y по А за допомогою безперервного відображення f . Ета проста і наочна операція виявляється дуже важливою, оскільки дозволяє отримувати з порівняно простих топологічних просторів складніші. Якщо Y складається з однієї крапки, той простір Х È f Y позначається символом Х/А і про нього говорять, що воно отримане з Х стяганням А в крапку. Наприклад, якщо Х — диск, а А — його граничне коло, то Х/А гомеоморфний сфері.
2. Рівномірна топологія
Частина Т., що вивчає аксіоматичне поняття рівномірній безперервності, називається рівномірною Т. Ізвестноє з аналізу визначення рівномірної безперервності числових функцій безпосередньо переноситься на відображення будь-яких метричних просторів. Тому аксіоматику рівномірної безперервності зазвичай отримують, відштовхуючись від метричних просторів. Детально досліджено два аксіоматичні підходи до рівномірної безперервності, заснованих відповідно на поняттях близькості і оточення діагоналі.
Підмножини А і В метричних простори Х називаються близькими (позначення A d B ) , якщо для будь-якого e > 0 існують точки а Î А і b Î У, відстань між якими < e. Приймаючи основні властивості цього відношення за аксіоми, приходять до наступного визначення: (віддільною) структурою близькості на безлічі Х називається таке відношення d на безлічі всіх його підмножин, що: 1) Æ X (символом позначається заперечення відношення d; 2) AB 1 і Ab 2 Û A ( B 1 U B 2 ) ; 3) { x }{ в } Û x ¹ в ; 4) якщо АВ , то існує така безліч З В , що А ( Х \ З ) . Безліч, в якій задана структура близькості, називається простором близькості. Відображення простору близькості Х в простір близькості Y називається блізостно безперервним, якщо образи близьких в Х безлічі близькі в Y . Простори близькості Х і Y називаються блізостно гомеоморфними (або еквіморфнимі), якщо існує взаємно однозначне блізостно безперервне відображення X ® Y , зворотне до якому також є блізостно безперервним (таке блізостно безперервне відображення називається еквіморфізмом). У рівномірній Т. еквіморфниє простору близькості розглядаються як однакові. Подібно до метричних просторів, будь-який простір близькості можна перетворити на (хаусдорфово) топологічний простір, рахуючи підмножину u Ì x відкритим, якщо { x }( X \ U ) для будь-якої точки х Î U . При цьому блізостно безперервні відображення виявляться безперервними відображеннями. Клас топологічних просторів, що виходять описаним чином з просторів близькості, збігається з класом сповна регулярних топологічних просторів. Для будь-якого сповна регулярного простору Х всі структури близькості на X , що породжують його топологічну структуру, знаходяться у взаємно однозначній відповідності з так званими компактифікаціями (у іншій термінології — бі-компактнімі розширеннями) вХ — компактними хаусдорфовимі топологічними просторами, Х , що містять, як усюди щільний простір. Структура близькості d, відповідна розширенню вХ, характеризується тим, що А d В тоді і лише тоді, коли замикання безлічі А і В перетинаються в bx . Зокрема, на будь-якому компактному хаусдорфовом топологічному просторі Х існує єдина структура близькості, що породжує його топологічну структуру.
Інший підхід заснований на тому, що рівномірну безперервність в метричному просторі Х можна визначити в термінах відношення «точки х і в знаходяться на відстані, не більшому e». Із загальної точки зору, відношення на Х є не що інше як довільна підмножина U прямого твору Х ´ X . Відношення «тотожність» є з цієї точки зору діагоналлю D Ì Х ´ X , тобто безліччю точок вигляду ( х, х ), х Î X. Для будь-якого відношення U визначене зворотне відношення U —1 = {( х, в ); ( в, х ) Î U } і для будь-яких двох стосунків U і V визначена їх композиція U × V = {( х, в ); існує z Î Х таке, що ( х, z ) Î U ( z, в ) Î V }. Сімейство стосунків { U } називається (віддільною) рівномірною структурою на Х (а стосунки U називається оточеннями діагоналі), якщо: 1) пересічення будь-яких двох оточень діагоналі містить оточення діагоналі; 2) кожне оточення діагоналі містить D, і пересічення всіх оточень діагоналі збігається з D; 3) разом з U оточенням діагоналі є і U —1 ; 4) для будь-якого оточення діагоналі U існує таке оточення діагоналі W , що W про W Ì U . Безліч, наділена рівномірною структурою, називається рівномірним простором. Відображення f : X ® Y рівномірного простору Х в рівномірний простір Y називається рівномірно безперервним якщо прообраз при відображенні f ´ f : Х ´ Х ® Y ´ Y будь-якого оточення діагоналі V Ì Y ´ Y містить деяке оточення діагоналі з Х ´ X . Рівномірні простори Х і Y називаються рівномірно гомеоморфними, якщо існує взаємно однозначне рівномірне безперервне відображення Х ® Y зворотне до якого також є рівномірно безперервним відображенням.
В рівномірній Т. такі рівномірні простори вважаються однаковими. Кожна рівномірна структура на Х визначає деяку структуру близькості: А d В тоді і лише тоді, коли ( A ´ В ) Ç U ¹ Æ для будь-якого оточення діагоналі U Ì X ´ X . При цьому рівномірно безперервні відображення виявляються блізостно безперервними.
3. Топологія алгебри
Хай кожному топологічному простору Х (з деякого класу) поставлений у відповідність деякий об'єкт алгебри h(X) (група, кільце і тому подібне), а кожному безперервному відображенню f : X ® Y — деякий гомоморфізм h(f) : h(X) ® h(Y) (або h(f) : h(Y) ® h(X), що є тотожним гомоморфізмом, коли f є тотожним відображенням. Якщо h(f 1 f 2 ) = h(f 1 ) h(f 2 ) (або, відповідно, h(f 1 f 2 ) = h(f 2 ) h(f 1 ), те говорять, що h є функтор (відповідно кофунктор). Більшість завдань алгеброю Т. так чи інакше пов'язано з наступним завданням поширення: для даного безперервного відображення f : A ® Y підпростору A Ì Х в деякий топологічний простір Y знайти безперервне відображення g : X ® Y , співпадаюче на A з f , тобто таке, що f = g×i де i : А ® Х — відображення вкладення ( i(a) = а для будь-якої крапки а Î A ). Якщо таке безперервне відображення g існує, то для будь-якого функтора (кофунктора) h існує такий гомоморфізм (j: h(X) ® h(Y) (гомоморфізм j: h(Y) ® h(X) ), що h(f)= j h(i) (відповідно h(f)= h(i) j); ним буде гомоморфізм j = h(g) . Отже, неіснування гомоморфізму j (хоч би для одного функтора h ) вабить неіснування відображення g . До цього простого принципу можуть бути фактично зведені майже всі методи алгебрі Т. Наприклад, існує функтор h , значення якого на кулі E n є тривіальною, а на сфері S, що обмежує кулю, n—1 — нетривіальною групою. Вже звідси слідує відсутність так званої ретракції — безперервного відображення р : E n ® S n—1 , нерухомого на S n—1 , тобто такого, що композиція р×i, де i : S n‑1 ® E n — відображення вкладення, є тотожне відображення (якщо р існує, то тотожне відображення групи h(S n—1 ) буде композицією відображень h(i) : h(S n—1 ) ® h(E n ) і h(p) : h(E n ) ® h(S n—1 ), що при тривіальній групі h(E n ) неможливе). Проте цей, по суті, елементарно-геометричний і (при n = 2) наочно очевидний факт (що фізично означає можливість натягнути на круглий обруч барабан) до цих пір не удалося довести без залучення алгебраїко-топологічніх методів. Його безпосереднім слідством є твердження, що будь-яке безперервне відображення f : E n ® E n має хоч би одну нерухому крапку, тобто рівняння f(x)= х має в E n хоч би одне рішення (якщо f(x) ¹ x для всіх х Î E n , то, прийнявши за р(х) крапку з S n—1 , колінеарну точкам f(x) і х і таку, що відрізок з кінцями f(x) і р(х) містить х , отримаємо ретракцію р : E n ® S n—1 ). Ця теорема про нерухому крапку була однією з перших теорем алгебри Т., а потім з'явилася джерелом цілої серії всіляких теорем існування вирішень рівнянь.
Взагалі кажучи, встановлення неіснування гомоморфізму (j тим легше, чим складніше структура алгебри об'єктів h(X). Тому в алгебрі Т. розглядаються об'єкти алгебри надзвичайно складної природи, і вимоги топології алгебри істотно стимулювали розвиток абстрактної алгебри.
Топологічний простір Х називається клітинним простором, а також клітинним розбиттям (або CW -комплексом), якщо в нім вказана зростаюча послідовність підпросторів X 0 Ì ¼ Ì X n—1 Ì X n Ì ¼ (називається остовами клітинного простору X ), об'єднанням яких є все X , причому виконані наступні умови: 1) безліч U Ì X тоді і лише тоді відкрито в X , коли для будь-якого n безліч U Ç X n відкрито в X n ; 2) X n виходить з X n—1 приклеюванням деякого сімейства n -мepних куль по їх граничних ( n— 1) -мepним сферах (за допомогою довільного безперервного відображення цих сфер в X n—1 ); 3) X 0 складається з ізольованих крапок. Таким чином, структура клітинного простору полягає, грубо кажучи, в тому, що воно представлене у вигляді об'єднання безлічі, гомеоморфної відкритим кулям (ця безліч називається клітками). У алгебрі Т. вивчаються майже виключно клітинні простори, оскільки специфіка завдань алгебрі Т. для них вже повністю виявляється. Більш того, фактично для алгебри Т. цікаві деякі особливо прості клітинні простори (типа поліедров, див.(дивися) нижчий), але звуження класу клітинних просторів, як правило, істотно ускладнює дослідження (оскільки багато корисних операцій над клітинними просторами виводять з класу поліедров).
Два безперервні відображення f, g : X ® Y називаються гомотопними, якщо вони можуть бути безперервно продеформіровани один в одного, тобто якщо існує таке сімейство безперервних відображень f t : X ® Y, безперервно залежних від параметра t Î [0, 1], що f 0 = f і f 1 = g (безперервна залежність від t означає, що формула F(x, t)= f t (x), х Î X , t Î [0, 1] визначає безперервне відображення F : Х ´ [0, 1] ® Y ; це відображення, а також сімейство {f t } називають гомотопією, що зв'язує f з g ). Сукупність всіх безперервних відображень X ® Y розпадається на гомотопічні класи гомотопних між собою відображень. Безліч гомотопічних класів безперервних відображень з Х в Y позначається символом [ X , Y ]. Вивчення властивостей відношення гомотопності і, зокрема, безлічі [ X Y ] складає предмет так званої гомотопічної топології (або теорії гомотопій). Для більшості цікавих топологічних просторів безлічі [ X , Y ] кінцеві або счетни і можуть бути в явному вигляді ефективно обчислені. Топологічні простори Х і Y називаються гомотопічний еквівалентними, або що мають одного і того ж гомотопічного типа, якщо існують такі безперервні відображення f : Х ® Y і g : Y ® Х , що безперервні відображення g×f : Х ® Х і f×g : Y ® Y гомотопни відповідним тотожним відображенням. У гомотопічній Т. такі простори слід розглядати як однакові (всі їх «гомотопічні інваріанти» збігаються).
Виявляється, що у багатьох випадках (зокрема, для клітинних просторів) вирішувана завдання поширення залежить лише від гомотопічного класу безперервного відображення f : A ® Y ; точніше, якщо для f поширення g : Х ® Y існує, то для будь-якої гомотопії f t : A ® Y (з f 0 = f) існує поширення g t : Х ® Y таке, що g 0 = g . Тому замість f можна розглядати його гомотопічний клас [f] і відповідно до цього вивчати лише гомотопічний інваріантні функтори (кофунктори) h , тобто такі, що h(f 0 ) = h(f 1 ), якщо відображення f 0 і f 1 гомотопни. Це приводить до настільки тісного переплетення алгеброю і гомотопічною Т., що їх можна розглядати як єдину дисципліну.
Для будь-якого топологічного простору Y формули h(X) = [ X , Y ] і h(f) = [jf], де f : X 1 ® X 2 і j : X 2 ® Y, визначають деякий гомотопічний інваріантний кофунктор h , про яке говорять, що він представлений топологічним простором Y . Це — стандартний (і по суті єдиний) прийом побудови гомотопічних інваріантних кофункторов. Щоб безліч h ( X ) виявилось, скажемо, групою, потрібно У вибрати відповідним чином, наприклад зажадати, щоб воно було топологічною групою (взагалі кажучи, це не зовсім так: необхідно вибрати в Х деяку точку x 0 і розглядати лише безперервні відображення і гомотопії, що переводять x 0 в одиницю групи; це технічне ускладнення буде, проте, надалі ігноруватися). Більш того, досить, щоб Y було топологічною групою «в гомотопічному сенсі», тобто щоб аксіоми асоціативності і існування зворотного елементу (що затверджують фактично збіг деяких відображень) виконувалися б лише «з точністю до гомотопії». Такі топологічні простори називаются Н -пространствамі. Таким чином, кожне Н -пространство Y задає гомотопічний інваріантний кофунктор h(X) = [ X , Y ], значеннями якого є групи.
Аналогічним («подвійним») чином, кожен топологічний простір Y задає по формулах h(X) = [ Y , X ], h(f) = [ f j], де f : X 1 ® X 2 і j : Y ® X 1 деякий функтор h . Щоб h(X) було групою, потрібно, щоб Y володіло певною структурою алгебри, в деякому точно певному сенсі подвійній структурі Н -пространства. Топологічні простори, наділені цією структурою, називаються ко- Н -пространствамі. Прикладом ко- Н- простору є n -мepная сфера S n (при n ³ 1 ). Таким чином для будь-якого топологічного простору Х формула p n X = [ S n , X ] визначає деяку групу p n X , n ³ 1 , яка називаєтся n -ою гомотопічною групою простору X . При n = 1 вона збігається з фундаментальною групою. При n > 1 група p n X комутативна. Якщо p 1 X = {1}, то Х називається одинзв'язним.
Клітинний простір Х називається простором K ( G, n ), якщо p i (X) = 0 при i ¹ n і p n X = G ; такий клітинний простір існує для будь-якого n ³ 1 і будь-якої групи G (комутативною при n > 1) і з точністю до гомотопічної еквівалентності визначено однозначно. При n > 1 (а також при n = 1, якщо група G комутативна) простір K ( G, n ) виявляється Н -пространством і тому представляє деяку групу H n (X ; G) = [ X ; K(G, n) ]. Ця група називаєтся n -мepной групою когомологий топологічного простору Х з групою коефіцієнтів G . Вона є типовим представником цілого ряду важливих кофункторов, до яких належить, наприклад, До -функтор KO(X) = [ Х , BO ], що представляється так званим безконечномірним грассманіаном BO , групи орієнтованих кобордізмов W n X і тому подібне
Еслі G є кільцем, то пряма сума Н*(Х; G) груп H n (X; G) є алгеброю над G . Більш того, ця пряма сума володіє дуже складною структурою алгебри, в яку (при G = Z p , де Z p — циклічна група порядку р ) входить дія на Н*(Х; G) деякої некомутативної алгебри p , званою алгеброю Стінрода. Складність цієї структури дозволяє, з одного боку, виробити ефективні (але зовсім не прості) методи обчислення груп H n (X; G), а з іншої — встановити зв'язки між групами H n (X; G) і іншими гомотопічний інваріантними функторамі (наприклад, гомотопічними групами p n X ), що дозволяють часто в явному вигляді обчислити і ці функтори.
Історично групам когомологий передували так звані групи гомологій H n (X; G) , що є гомотопічними групами p n M(X, G) деякого клітинного простору M(X, G) , що однозначно будується по клітинному простору Х і групі G . Групи гомологій і когомологий в певному значенні подвійні один одному, і їх теорії по суті рівносильні. Проте структура алгебри, наявна в групах гомологій, менш звична (наприклад, ці групи складають не алгебру, а так звану коалгебру), і тому в обчисленнях зазвичай
