Поліедр (від поли... і греч.(грецький) hédra — підстава, грань), 1) те ж, що многогранник . 2) Геометрична фігура, що є об'єднанням (сумою) кінцевого числа опуклих многогранників довільного числа вимірів, довільно розташованих в n -мерном просторі (у цьому сенсі, зокрема термін «П.» уживається в топології ) . Це поняття легко узагальнюється і на випадок n -мерного простору: візьмемо в n- мірному просторі R n т.з. напівпростір, тобто безліч всіх крапок, розташованих по одну сторону якої-небудь ( n - 1) -мерной плоскості цього простору, включаючи точки самої плоскості (аналітично йдеться про безлічі всіх точок простору R n , координати яких задовольняють нерівності першого ступеня вигляду a 1 x 1 + a 2 x 2 +... + a n x n + b ³ 0). Пересічення кінцевого числа напівпросторів (якщо воно виявляється обмеженим) і є найбільш загальним опуклим многогранником довільного числа вимірів £ n, лежачий в даному R n . П. в загальному сенсі слова є сума кінцевого числа таких многогранників. При n = 2 виходять багатокутники (не неодмінно опуклі) як двовимірні П. Одномерниє П. суть ламані лінії (причому допускається їх розпад на шматки, а також галуження: у одній вершині можуть змикатися скільки завгодно відрізань). Мірний для Нуля П. завжди можна розбити на многогранники простого вигляду, а саме на симплекс, симплекс розмірності 0, 1, 2, 3 суть відповідно: одна крапка, відрізок, трикутник, тетраедр (взагалі кажучи, неправильний). При цьому розбиття можна виробити так, що два симплекс цього розбиття або не мають загальних крапок, або сукупність їх загальних крапок утворює загальну грань цього симплексу. Таке розбиття П. на симплекс називається тріангуляціями; вони складають основний апарат дослідження В т. н. комбінаторній топології. Поняття «П.» допускає різні узагальнення: при топологічному відображенні П. переходить В т. н. кривий П. (наприклад, багатогранна поверхня переходить в довільну криву поверхню): розглядаються і т.з. безконечні П., такі, що складаються з безконечної безлічі опуклих многогранників (симплексу) і т.д.
Літ.: Александров П. С., Лекції з аналітичної геометрії..., М., 1968; його ж, Комбінаторна топологія, М. — Л., 1947; Понтрягин Л. С., Основи комбінаторної топології, М. — Л., 1947; Александров П. С., Пасинків Би. А., Введення в теорію розмірності, М., 1973.
