складене з елементів безконечної матриці || u mn || ( m, n = 1, 2 ...); ці елементи можуть бути числами (тоді Д. р. називаються числовим), функціями від одного або декількох змінних (функціональний Д. р.) і так далі Для Д. р. прийнятий скорочений запис
u mn називається загальним членом Д. р.
Кінцеві суми
називаються частковими сумами Д. р. Якщо існує межа
коли m і n незалежно один від одного прагнуть до нескінченності, то ця межа називається сумою Д. р. і Д. р. називаються тим, що сходяться. Теорія збіжності Д. р. значно складніше відповідної теорії для простих рядів ; наприклад, на відміну від простих рядів, із збіжності Д. р. не витікає, що його часткові суми обмежені.
Вираження
називається повторним рядом. Його треба розуміти в тому сенсі, що спочатку обчислюються суми
всіх внутрішніх рядів, а потім розглядається ряд
складений з цих сум. Якщо повторний ряд (1) сходиться і має суму S, те її називають сумою Д. р. по рядках. Аналогічно визначається сума S'' Д. р. по стовпцях. Із збіжності Д. р. не витікає, що сходяться внутрішні Ряди
так що суми по рядках і по стовпцях можуть і не існувати. Навпаки, якщо Д. р. розходиться, то може виявитися, що існують суми по рядках і по стовпцях і S ¹ S''. Проте, якщо Д. р. сходиться і має суму S і існують суми по рядках і по стовпцях, то кожна з цих сум рівна S . Ця обставина постійно використовується при фактичному обчисленні суми Д. р.
Найбільш важливими класами Д. р. є подвійні статечні ряди, подвійні ряди Фур'є і квадратичні форми з безконечним числом змінних. Для Д. р. Фур'є
одним із стандартних поніманій суми таких рядів є наступне: утворюються кругові (або сферичні) часткові суми
де підсумовування поширюється на всілякі пари цілих чисел ( m, n ) , для яких m 2 + n 2 < N, і розглядається межа ця межа називається сферичною сумою Д. р. Фур'є (2). Багато важливих функцій зображаються за допомогою Д. р., наприклад еліптична функція Вейерштраса.
Кратний ряд (точніше, s-кратній ряд) є вираження вигляду
S m, n ., p u mn . q,
складене з членів таблиці || u mn...p ||. Кожен член цієї таблиці занумерований s індексами m , n , ..., р, і ці індекси пробігають незалежно один від одного всі натуральні числа. Теорія кратних рядів абсолютно аналогічна теорії Д. р.
Літ.: Фіхтенгольц Р. М., Курс диференціального і інтегрального числення, 6 видавництво, т. 2, М., 1966.
