Еліптичні функції, функції, пов'язані із зверненням еліптичних інтегралів . Е. ф. застосовуються в багатьох розділах математики і механіки як при теоретичних дослідженнях, так і для чисельних розрахунків.
Подібно до того як тригонометрична функція u = sinx є зворотною по відношенню до інтеграла
так звернення нормальних еліптичних інтегралів 1-го роду
де z = sin jw, до — модуль еліптичного інтеграла, породжує функції: j = am z — амплітуда z (ця функція немає Е. ф.) і w = sn z = sin (am z ) — синус амплітуди. Функції cn — косинус амплітуди і dn z — дельта амплітуди визначаються формулами
Функції sn z, cn z, dn z називають Е. ф. Якобі. Вони зв'язані співвідношенням
sn 2 z + cn 2 z = k 2 sn 2 z + dn 2 z = 1.
На мал.(малюнок) представлений вигляд графіків Е. ф. Якобі. Вони зв'язані співвідношенням
sn 2 z + cn 2 z = до 2 sn 2 z + dn 2 z = 1
На мал. представлений вигляд графіків Е. ф. Якобі для дійсного x і 0 < до < 1; а
— повний нормальний еліптичний інтеграл 1-го роду і 4 K — основний період Е. ф. sn z. На відміну від одинперіодичної функції sin х, функція sn z — двоякоперіодична. Її другий основний період рівний 2 ik, де
і — додатковий модуль. Періоди, нулі і полюси Е . ф. Якобі приведені в таблиці, де m і n — будь-які цілі числа.
Функції
Періоди
Нулі
Полюси
sn z
4 Km + 2 ik''n
2 mk + 2 ik''n
}2 mk + (2 n + 1) ik''
cn z
4 K + (2 K + 2 ik'' ) n
(2 m + 1) K + 2 ik''n
dn z
2 Km + 4 ik''n
(2 m + 1) K + (2 n + 1) ik
Е. ф. Вейерштраса Ã( х ) може бути визначена як зворотна нормальному еліптичному інтегралу Вейерштраса 1-го роду
де параметри g 2 і g 2 — називаються інваріантами Ã( x ) . При цьому передбачається, що нулі e 1 , e 2 і e 3 многочлена 4 t 3 — g 2 t — g 3 різні між собою (інакше інтеграл (*) виражався б через елементарні функції). Е. ф. Вейерштраса Ã( х ) пов'язана з Е. ф. Якобі наступними співвідношеннями:
,
,
.
Будь-яка мероморфная двоякоперіодична функція f ( z ) з періодами w 1 і w 2 , відношення яких уявно, тобто f ( z + m w 1 + п w 2 ) = f ( z ) прі m , n = 0 ± 1 ±2,... і, є Е. ф. Для побудови Е. ф., а також чисельних розрахунків застосовують сигма-функції і тета-функції .
Вивченню Е. ф. передувало накопичення знань про еліптичні інтеграли, систематичний виклад теорії яких дав А. Лежандр . Основоположниками теорії Е. ф. є Н. Абель (1827) і До. Якобі (1829). Останній дав розгорнутий виклад теорії Е. ф., назване його ім'ям. У 1847 Же. Ліувіль опублікував виклад основ загальній теорії Е. ф., що розглядаються як мероморфниє двоякоперіодичні функції. Представлення Е. ф. через Ã-функцию, а також z-, s-функції дано До. Вейерштрасом в 40-х рр. 19 ст (дві останні немає Е. ф.).
Літ.: Маркушевіч А. І., Теорія аналітичних функцій, 2 видавництва, т. 2, М., 1968; Гурвіц А., Курант Р., Теорія функцій, пер.(переведення) з йому.(німецький), М., 1968; Уїттекер Е, Т., Ватсон Дж. Н., Курс сучасного аналізу, пер.(переведення) з англ.(англійський), 2 видавництва, ч. 2, М., 1963; Бейтмен Р., Ердейі А., Вищі трансцендентні функції. Еліптичні і автоморфні функції. Функції Ламі і Матье, пер.(переведення) з англ.(англійський), М., 1967.
