Еліптичні функції
 
а б в г д е ж з и й к л м н о п р с т у ф х ц ч ш щ ъ ы ь э ю я
 

Еліптичні функції

Еліптичні функції, функції, пов'язані із зверненням еліптичних інтегралів . Е. ф. застосовуються в багатьох розділах математики і механіки як при теоретичних дослідженнях, так і для чисельних розрахунків.

загрузка...

  Подібно до того як тригонометрична функція u = sinx є зворотною по відношенню до інтеграла

  так звернення нормальних еліптичних інтегралів 1-го роду

  де z = sin jw, до — модуль еліптичного інтеграла, породжує функції: j = am z — амплітуда z (ця функція немає Е. ф.) і w = sn z = sin (am z ) синус амплітуди. Функції cn косинус амплітуди і dn z — дельта амплітуди визначаються формулами

  Функції sn z, cn z, dn z називають Е. ф. Якобі. Вони зв'язані співвідношенням

  sn 2 z + cn 2 z = k 2 sn 2 z + dn 2 z = 1.

  На мал.(малюнок) представлений вигляд графіків Е. ф. Якобі. Вони зв'язані співвідношенням

  sn 2 z + cn 2 z = до 2 sn 2 z + dn 2 z = 1

  На мал. представлений вигляд графіків Е. ф. Якобі для дійсного x і 0 < до < 1; а

— повний нормальний еліптичний інтеграл 1-го роду і 4 K — основний період Е. ф. sn z. На відміну від одинперіодичної функції sin х, функція sn z — двоякоперіодична. Її другий основний період рівний 2 ik, де

  і  — додатковий модуль. Періоди, нулі і полюси Е . ф. Якобі приведені в таблиці, де m і n — будь-які цілі числа.

Функції

Періоди

Нулі

Полюси

sn z

4 Km + 2 ik''n

2 mk + 2 ik''n

 

}2 mk + (2 n + 1) ik''

cn z

4 K + (2 K + 2 ik'' ) n

(2 m + 1) K + 2 ik''n

dn z

2 Km + 4 ik''n

(2 m + 1) K + (2 n + 1) ik

 

  Е. ф. Вейерштраса Ã( х ) може бути визначена як зворотна нормальному еліптичному інтегралу Вейерштраса 1-го роду

  де параметри g 2 і g 2 — називаються інваріантами Ã( x ) . При цьому передбачається, що нулі e 1 , e 2 і e 3 многочлена 4 t 3 g 2 t — g 3 різні між собою (інакше інтеграл (*) виражався б через елементарні функції). Е. ф. Вейерштраса Ã( х ) пов'язана з Е. ф. Якобі наступними співвідношеннями:

,

,

.

  Будь-яка мероморфная двоякоперіодична функція f ( z ) з періодами w 1 і w 2 , відношення яких уявно, тобто f ( z + m w 1 + п w 2 ) = f ( z ) прі m , n = 0 ± 1 ±2,... і, є Е. ф. Для побудови Е. ф., а також чисельних розрахунків застосовують сигма-функції і тета-функції .

  Вивченню Е. ф. передувало накопичення знань про еліптичні інтеграли, систематичний виклад теорії яких дав А. Лежандр . Основоположниками теорії Е. ф. є Н. Абель (1827) і До. Якобі (1829). Останній дав розгорнутий виклад теорії Е. ф., назване його ім'ям. У 1847 Же. Ліувіль опублікував виклад основ загальній теорії Е. ф., що розглядаються як мероморфниє двоякоперіодичні функції. Представлення Е. ф. через Ã-функцию, а також z-, s-функції дано До. Вейерштрасом в 40-х рр. 19 ст (дві останні немає Е. ф.).

  Літ.: Маркушевіч А. І., Теорія аналітичних функцій, 2 видавництва, т. 2, М., 1968; Гурвіц А., Курант Р., Теорія функцій, пер.(переведення) з йому.(німецький), М., 1968; Уїттекер Е, Т., Ватсон Дж. Н., Курс сучасного аналізу, пер.(переведення) з англ.(англійський), 2 видавництва, ч. 2, М., 1963; Бейтмен Р., Ердейі А., Вищі трансцендентні функції. Еліптичні і автоморфні функції. Функції Ламі і Матье, пер.(переведення) з англ.(англійський), М., 1967.

Мал. до ст. Еліптичні функції.