сигма-функції, цілі трансцендентні функції, введені До. Вейерштрасом при побудові ним своїй теорії еліптичних функцій. Основний з чотирьох З.-ф. є функція
де w = 2 m w 1 + 2 n w 2 , w 1 і w 2 — два числа, відношення яких не є речовим, а m і n незалежно один від одного пробігають всі позитивні і негативні цілі числа, окрім m = n = 0. Функція s( z ) має прості нулі при z = w, тобто у вершинах паралелограмів, створюючих правильні грати на плоскості z ; ці паралелограми виходять з основного паралелограма з вершинами в крапках 0, 2w 1 , 2w 2 , 2 (w 1 + w 2 ) паралельними перенесеннями уздовж його сторін.
За допомогою функції s( z ) можуть бути визначені дзета-функція x( z ) і еліптична функція Ã( z ) Вейерштраса:
.
Позначимо w 3 = - w 1 - w 2 , x(w до )= h до , до =1, 2, 3.
Формули
, до = 1, 2, виражають властивість квазіперіодичності функції s( z ). Рівність
, до = 1, 2, 3,
визначають останні три З.-ф. Маємо s(0)= 0, s до (0) = 1, до = 1, 2, 3. Функція s( z ) є непарною, а три останні З.-ф. — парні.
Будь-яка еліптична функція f ( z ) з періодами 2w 1 і 2w 2 може бути раціонально виражена через З.-ф. по формулі
,
де З — постійна, a 1 ..., c r і b 1 ..., b r — відповідно повні системи нулів і полюсів функції f ( z ), що задовольняють умові a 1 +... + a r = b 1 +... + b r .
Літ.: Смирнов Ст І., Курс вищої математики, 8 видавництво, т. 3, ч. 2, М., 1969; Гурвіц А., Курант Р., Теорія функцій пер.(переведення) [з йому.(німецький)], М., 1968; Уїттекер Е. Т. і Ватсон Дж. Н., Курс сучасного аналізу, пер.(переведення) з англ.(англійський), 2 видавництва, ч. 2, М., 1963.
