Эллиптические функции

Эллиптические функции, функции, связанные с обращением эллиптических интегралов. Э. ф. применяются во многих разделах математики и механики как при теоретических исследованиях, так и для численных расчётов.

  Подобно тому как тригонометрическая функция u = sinx является обратной по отношению к интегралу

  так обращение нормальных эллиптических интегралов 1-го рода

  где z = sin jw, k — модуль эллиптического интеграла, порождает функции: j = am z — амплитуда z (эта функция не является Э. ф.) и w = sn z = sin (am z) — синус амплитуды. Функции cn — косинус амплитуды и dn z — дельта амплитуды определяются формулами

  Функции sn z, cn z, dn z называют Э. ф. Якоби. Они связаны соотношением

  sn²z + cn²z = k²sn²z + dn²z = 1.

  На рис.(рисунок) представлен вид графиков Э. ф. Якоби. Они связаны соотношением

  sn²z + cn²z = k²sn²z + dn²z = 1

  На рис. представлен вид графиков Э. ф. Якоби для действительного x и 0 < k < 1; а

— полный нормальный эллиптический интеграл 1-го рода и 4K — основной период Э. ф. sn z. В отличие от однопериодической функции sin х, функция sn z — двоякопериодическая. Её второй основной период равен 2iK, где

  и  — дополнительный модуль. Периоды, нули и полюсы Э. ф. Якоби приведены в таблице, где m и n — любые целые числа.

  Э. ф. Вейерштрасса Ã(х) может быть определена как обратная нормальному эллиптическому интегралу Вейерштрасса 1-го рода

  где параметры g₂ и g₂ — называются инвариантами Ã(x). При этом предполагается, что нули e₁, e₂ и e₃ многочлена 4t³ — g₂t — g₃ различны между собой (в противном случае интеграл (*) выражался бы через элементарные функции). Э. ф. Вейерштрасса Ã(х) связана с Э. ф. Якоби следующими соотношениями:

,

,

.

  Любая мероморфная двоякопериодическая функция f (z) с периодами w₁ и w₂, отношение которых мнимо, т. е. f (z + mw₁ + пw₂) = f (z) при m, n = 0, ±1, ±2,... и , является Э. ф. Для построения Э. ф., а также численных расчётов применяют сигма-функции и тэта-функции.

  Изучению Э. ф. предшествовало накопление знаний об эллиптических интегралах, систематическое изложение теории которых дал А. Лежандр. Основоположниками теории Э. ф. являются Н. Абель (1827) и К. Якоби (1829). Последний дал развёрнутое изложение теории Э. ф., названное его именем. В 1847 Ж. Лиувилль опубликовал изложение основ общей теории Э. ф., рассматриваемых как мероморфные двоякопериодические функции. Представление Э. ф. через Ã-функцию, а также z-, s-функции дано К. Вейерштрассом в 40-х гг. 19 в. (две последние не являются Э. ф.).

  Лит.: Маркушевич А. И., Теория аналитических функций, 2 изд., т. 2, М., 1968; Гурвиц А., Курант Р., Теория функций, пер.(перевод) с нем.(немецкий), М., 1968; Уиттекер Э, Т., Ватсон Дж. Н., Курс современного анализа, пер.(перевод) с англ.(английский), 2 изд., ч. 2, М., 1963; Бейтмен Г., Эрдейи А., Высшие трансцендентные функции. Эллиптические и автоморфные функции. Функции Ламе и Матье, пер.(перевод) с англ.(английский), М., 1967.

Рис. к ст. Эллиптические функции.